数字信号处理—常用的典型序列

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1、单位脉冲序列

单位脉冲序列是在离散时间信号和系统分析中常用的一种基本序列，它也被称为δ函数或者Dirac δ函数。

单位脉冲序列的数学定义为：

δ[n] = {1 for n = 0; 0 for n ≠ 0}

这里，n是离散时间索引。当n等于0时，δ[n]等于1。当n不等于0时，δ[n]等于0。

换句话说，单位脉冲序列在零索引处为1，而在所有其他索引处为0。这种函数可以描述一个瞬间的脉冲事件，因此得名“单位脉冲”。单位脉冲序列在系统分析中非常有用，尤其是在理解和分析线性时间不变系统的冲激响应时。

2、单位阶跃序列

定义：单位阶跃序列通常是在离散时间信号和系统分析中使用的一个基本序列，它也被称为Heaviside步进函数在连续时间系统中。

单位阶跃序列的数学定义如下：u[n] = {1 for n ≥ 0; 0 for n < 0} 

这里，n是离散时间指标。当n大于等于0时，u[n]等于1。当n小于0时，u[n]等于0。

单位阶跃序列

也就是说，单位阶跃序列在零和正数索引处为1，而在所有负数索引处为0。这种函数可以描述一个立即从零跳跃到一的过程，因此得名“单位阶跃”。这个函数在系统分析中非常有用，尤其是在理解和分析线性时间不变系统的冲激响应和阶跃响应时。

3、矩形序列 

定义：矩形序列，又称为单位脉冲串或者矩形波，是在离散信号和系统分析中使用的一个基本序列。矩形序列在一定区间内等于1，而在其余区间内等于0。

其数学定义可以表示为：rect[n] = {1 for -N/2 ≤ n ≤ N/2; 0 otherwise}

其中，n是离散时间索引，N是矩形序列的宽度。当-n/2到n/2（这里假设N是偶数）范围内时，rect[n]等于1。在其余的时间，rect[n]等于0。这种函数在系统分析中非常有用，尤其是在描述有限长度的信号或者在进行窗函数处理时。

4、实指数序列 

定义：实指数序列是离散时间信号和系统分析中的一个基本序列。这个序列通常是一个递增或递减的序列，取决于底数是否大于1或小于1，且大于0。

它的数学定义为：x[n] = a^n

这里，n是离散时间指标，a是实数且0 < a < 1或a > 1。如果a > 1，序列是递增的；如果0 < a < 1，序列是递减的。特别地，如果a = 1，那么序列就是一个常数序列；如果a = 0，序列就是一个单位脉冲序列。  

这个函数在系统分析中有很多用途，如分析线性时不变系统的响应，处理信号的衰减和增长等。

5、正弦序列

定义：正弦序列是另一种在离散信号和系统分析中常用的基本序列。正弦序列就是具有正弦函数形状的离散序列。它的数学定义通常如下：

x[n] = A * sin(ωn + φ)

其中，n是离散时间索引，A是振幅，ω是角频率（通常以弧度/样本表示），φ是相位偏移（通常以弧度表示）。

在这个公式中，A控制了正弦波的高度，ω决定了波形的频率，即每单位时间内循环的次数，而φ控制了波的起始位置，即正弦波的相位。

正弦序列在很多地方都有应用，如在分析系统的频率响应、建立周期性信号模型、进行频率分析等。

6、复指数序列

定义：复指数序列是在离散时间信号和系统分析中常用的基本序列。这个序列可以被认为是一个在复数域中周期旋转的序列。

它的数学定义为：x[n] = e^(jωn)

这里，n是离散时间索引，j是虚数单位，ω是角频率（通常以弧度/样本表示）。

通过欧拉公式，这个复指数序列可以被分解为一个正弦序列和一个余弦序列的组合：

x[n] = cos(ωn) + j sin(ωn)        通过欧拉公式也可以写为         

这表明，复指数序列实际上包含了两个正交的正弦和余弦序列，一个为实部，一个为虚部。

复指数序列在信号处理和系统分析中有许多应用，尤其是在频域分析和傅里叶变换中。例如，离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）就是使用复指数序列来将离散时间信号从时间域转换到频域的。

7、周期序列

周期序列是在离散时间信号和系统分析中常见的一类序列。一个离散时间信号被称为周期序列，如果它在某个非零的整数周期N后重复，也就是说，对于所有的整数n，序列满足：

x[n] = x[n + N]

在这里，N是序列的周期，即信号每N个样本就重复一次。当N为最小的满足上述性质的正整数时，我们说N是序列的基本周期或者最小周期。

周期序列在很多场合都有应用，比如在描述周期性现象（如音调、电磁波等）时，我们通常使用周期序列。离散傅里叶级数（DFS）和离散傅里叶变换（DFT）是分析周期序列的主要工具。