两个重要极限及相关推导极限

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两个重要极限：
①$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$
②$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

关于重要极限①的推导极限可以参考： 无穷小的等价代换

关于重要极限②的由来可以参考：自然常数e与重要极限

由重要极限②可以推导出：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

重要极限②的例题
例：求${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{2}{x+3}{)}^x$
解：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{2}{x+3}{)}^x$$
$$=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{\frac{x+3}{2}}{)}^{(\frac{x+3}{2})\cdot 2-3}$$
$$=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{\frac{x+3}{2}}{)}^{\frac{x+3}{2}\cdot 2}\cdot (1+\frac{1}{\frac{x+3}{2}}{)}^{-3}$$
$$=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{\frac{x+3}{2}}{)}^{\frac{x+3}{2}\cdot 2}$$
$$=e^2$$

关于重要极限②，还有一个变体例题，很容易迷惑人，但实际上并不是用重要极限的方法来做
例：求$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+2x{)}^{\frac{1}{x}}$$
解：
$$(1+2x{)}^{\frac{1}{x}}=e^{\ln (1+2x{)}^{\frac{1}{x}}}=e^{\frac{\ln (1+2x)}{x}}$$
所以：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+2x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{\ln (1+2x)}{x}}=e^{{\lim }_{x\to \infty }\frac{\ln (1+2x)}{x}}$$
应用洛必达法则，得：
$$e^{{\lim }_{x\to \infty }\frac{\ln (1+2x)}{x}}=e^{{\lim }_{x\to \infty }\frac{2}{1+2x}}=e^0=1$$