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二项式定理
内容
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k (x+y)n=k=0∑n(nk)xn−kyk
理解
式子的理解比较简单
( x + y ) n = ( x + y ) × ( x + y ) × ( x + y ) × ⋯ × ( x + y ) (x + y)^n = (x + y) \times (x + y) \times (x + y) \times \cdots \times (x + y) (x+y)n=(x+y)×(x+y)×(x+y)×⋯×(x+y)
其中每一个括号内我们只可能选一个 x x x 或者 y y y，且必须选一个 x x x 或者 y y y。
因此，每一项的次数都是 n n n。
那么比如 x a y n − a x^ay^{n-a} xayn−a 有多少种选法呢？
就是 n n n 个括号内选 a a a 个选取 x x x 与选取的顺序无关，就有 ( n a ) \begin{pmatrix}n\\a\end{pmatrix} (na) 种。
因此系数就为 ( n a ) \begin{pmatrix}n\\a\end{pmatrix} (na)。
变形
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n n − k ) x n − k y k (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k (x+y)n=k=0∑n(nn−k)xn−kyk
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n n − k ) x k y n − k (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} x^{k}y^{n-k} (x+y)n=k=0∑n(nn−k)xkyn−k
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{k}y^{n-k} (x+y)n=k=0∑n(nk)xkyn−k
( x + 1 ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k = ∑ k = 0 n ( n n − k ) x k (x + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n – k \end{pmatrix} x^k (x+1)n=k=0∑n(nk)xk=k=0∑n(nn−k)xk
逆用 二项式定理
取 x = 1 , y = 2 x=1,y=2 x=1,y=2 的时候
( 1 + 2 ) n = ( n 0 ) 2 0 + ( n 1 ) 2 1 + ⋯ + ( n n ) 2 n = 3 n (1 + 2)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} 2^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} 2^1 + \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} 2^n = 3^n (1+2)n=(n0)20+(n1)21+⋯+(nn)2n=3n
遇到中间的这一种形式( ( n 0 ) 2 0 + ( n 1 ) 2 1 + ⋯ + ( n n ) 2 n \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} 2^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} 2^1 + \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} 2^n (n0)20+(n1)21+⋯+(nn)2n)的时候，要能看明白
取 x = y = 1 x=y=1 x=y=1 的时候
( x − y ) n = ( n 0 ) − ( n 1 ) + ( n 2 ) − ⋯ + ( − 1 ) n ( n n ) = 0 ( n ≥ 1 ) ( x + y ) n = ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n ) = 2 n (x-y)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} – \cdots + (-1)^n\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 0 (n \ge 1) \\ (x+y)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} + \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 2^n (x−y)n=(n0)−(n1)+(n2)−⋯+(−1)n(nn)=0(n≥1)(x+y)n=(n0)+(n1)+(n2)+⋯+(nn)=2n
推论
( n 0 ) + ( n 2 ) + ( n 4 ) + ⋯ = 2 n − 1 \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} + \cdots = 2^{n-1} (n0)+(n2)+(n4)+⋯=2n−1
( n 1 ) + ( n 3 ) + ( n 5 ) + ⋯ = 2 n − 1 \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 5 \end{pmatrix} + \cdots = 2^{n-1} (n1)+(n3)+(n5)+⋯=2n−1
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