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平面几何点线距离与位置关系
一、直线 l l l 的产生
已知： n → = ( A , B ) , P = ( x 0 , y 0 ) , ∀ Q = ( x , y ) ∈ l ≠ P \overrightarrow{n}=(A,B), P=(x_0,y_0), \forall Q=(x,y) \in l \neq P n=(A,B),P=(x0,y0),∀Q=(x,y)∈l=P
则： n → ⋅ P Q → = ( A , B ) ⋅ ( x − x 0 , y − y 0 ) = 0 \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = (A,B)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0 n⋅PQ=(A,B)⋅(x−x0,y−y0)=0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 A(x−x0)+B(y−y0)=0 A x + B y − ( A x 0 + B y 0 ) = 0 Ax+By-(Ax_0+By_0)=0 Ax+By−(Ax0+By0)=0
令： C = − ( A x 0 + B y 0 ) C=-(Ax_0+By_0) C=−(Ax0+By0)，则： A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0
二、点到直线的距离公式及推导——向量法
- 若待测点 P = ( x 0 , y 0 ) P=(x_0,y_0) P=(x0,y0) 在 l l l 法向量 n → \overrightarrow{n} n 同侧：
d = ∣ Q P → ∣ cos θ = Q P → ⋅ n → ∣ n → ∣ = A ( x 0 − x ) + B ( y 0 − y ) A 2 + B 2 2 = A x 0 + B y 0 + C A 2 + B 2 2 d=\left| \overrightarrow{QP} \right|\cos\theta=\frac{\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{n}}{\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{A(x_0-x)+B(y_0-y)}{\sqrt[2]{A^2+B^2}}=\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt[2]{A^2+B^2}} d=
QP
cosθ=
n
QP⋅n=2A2+B2A(x0−x)+B(y0−y)=2A2+B2Ax0+By0+C - 若待测点 P = ( x 0 , y 0 ) P=(x_0,y_0) P=(x0,y0) 在 l l l 法向量 n → \overrightarrow{n} n 异侧：
d = − ∣ Q P → ∣ cos θ = − Q P → ⋅ n → ∣ n → ∣ = − A ( x 0 − x ) + B ( y 0 − y ) A 2 + B 2 2 = − A x 0 + B y 0 + C A 2 + B 2 2 d=-\left| \overrightarrow{QP} \right|\cos\theta=-\frac{\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{n}}{\left| \overrightarrow{n} \right|}=-\frac{A(x_0-x)+B(y_0-y)}{\sqrt[2]{A^2+B^2}}=-\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt[2]{A^2+B^2}} d=−
QP
cosθ=−
n
QP⋅n=−2A2+B2A(x0−x)+B(y0−y)=−2A2+B2Ax0+By0+C
故 ∀ P ( x 0 , y 0 ) , d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 2 \forall P(x_0,y_0), d=\frac{\left| Ax_0+By_0+C \right|}{\sqrt[2]{A^2+B^2}} ∀P(x0,y0),d=2A2+B2∣Ax0+By0+C∣
三、两平行直线距离公式及推导
设 l 1 : A x + B x + C 1 = 0 l_1:Ax+Bx+C_1=0 l1:Ax+Bx+C1=0， l 2 : A x + B x + C 2 = 0 l_2:Ax+Bx+C_2=0 l2:Ax+Bx+C2=0，将 ∀ P ( x , y ) ∈ l 2 \forall P(x,y) \in l_2 ∀P(x,y)∈l2 带入二中距离公式：
d l 1 l 2 = ∣ A x + B y + C 1 ∣ A 2 + B 2 2 = ∣ C 1 − C 2 ∣ A 2 + B 2 2 d_{l_1l_2}=\frac{\left| Ax+By+C_1 \right|}{\sqrt[2]{A^2+B^2}}=\frac{\left| C_1-C_2 \right|}{\sqrt[2]{A^2+B^2}} dl1l2=2A2+B2∣Ax+By+C1∣=2A2+B2∣C1−C2∣
四、点与直线位置关系与推导
P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0); l : A x + B y + C = 0 l:Ax+By+C=0 l:Ax+By+C=0; n → ( A , B ) \overrightarrow{n}(A,B) n(A,B)
① P P P 在直线 l l l 上 ⇔ A x 0 + B y 0 + C = 0 \Leftrightarrow Ax_0+By_0+C=0 ⇔Ax0+By0+C=0
② P P P 与 n → \overrightarrow{n} n 同侧 ⇔ A x 0 + B y 0 + C > 0 ( 证 : n → ⋅ Q P → = ( A , B ) ⋅ ( x 0 − x , y 0 − y ) = A x 0 + B y 0 + C > 0 ) \Leftrightarrow Ax_0+By_0+C>0 (证:\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{QP}=(A,B)\cdot (x_0-x,y_0-y)=Ax_0+By_0+C>0) ⇔Ax0+By0+C>0(证:n⋅QP=(A,B)⋅(x0−x,y0−y)=Ax0+By0+C>0)
③ P P P 与 n → \overrightarrow{n} n 异侧 ⇔ A x 0 + B y 0 + C < 0 （证 : 同②） \Leftrightarrow Ax_0+By_0+C<0（证:同②） ⇔Ax0+By0+C<0（证:同②）
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