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KZG多项式承诺

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KZG 承诺是一种在密码学中使用的一种承诺方案，其名称源自其发明者的姓氏（Kate, Zaverucha, and Goldwasser）。本文简要说明 KZG 承诺的基本构造。

Step1 (Setup):

循环群，循环群的生成元；
是需要承诺多项式最大的阶数；
$r \in F_p$ ；
计算并发布 $(g,g^{r},g^{r^2},...,g^{r^l})$ 。

Step 2 (Commit to polynomial):

给定一个多项式: ；
计算并输出承诺: $c=g^{f(r)}=g^{a_0+a_1 r^1+a_2 r^2+...+a_d r^d}=({g^{r_0}})^{a_0}({g^{r_1}})^{a_1}...({g^{r_d}})^{a_d}$ 。

Step 3 (Prove an evaluation):

给定一个挑战值 z，Prover 计算；
计算并输出证明： $\pi = g^{t(r)}$ ；
$f(x)-s = (x-z)t(x) \rightarrow f(r)-s=(r-z)t(r)$ 。

其中， t(x) 被称为 “商多项式”，那么 t(x) 可以被 Prover 通过长除法计算出来： $t(x)=\frac{f(x)-s}{(x-z)}$ 。

Step 4 (Verify an evaluation proof):

给定承诺 $c=g^{f(r)}$ ，等式和证明 $\pi = g^{t(r)}$ ；
验证： $e(\frac{g^{f(r)}}{g^s},g)=e(g^{t(r)},\frac{g^r}{g^z})$

这里我只是展示了 KZG 多项式承诺的关键算法，如果想要更多的了解背景和详细的数学知识，可以阅读以下文章。

KZG in Practice: Polynomial Commitment Schemes and Their Usage in Scaling Ethereum

Alin Tomescu’s notes on KZG

Dankrad Feist’s notes on KZG

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KZG多项式承诺

Step1 (Setup):

Step 2 (Commit to polynomial):

Step 3 (Prove an evaluation):

Step 4 (Verify an evaluation proof):

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