组合数学——计数原理和计数公式

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

加法原理和乘法原理

加法原理是分类，乘法原理是分步。这个不用多解释了。

无重复的排列组合

排列

从$n$个不同元素中取$m(m\leq n)$个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素取出的一个排列。
这个排列中没有重复元素，所以叫无重复的排列。记作$A_n^m$或$P_n^m$。
明显可以得到计算公式：

$$P_n^m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

特别地，在

n=m n = m
$n=m$的时候，称为全排列。

$$P_n^n=n!$$

组合

从$n$个元素中取出$m$个元素并成一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合。又叫无重复的排列。记作$C_n^m$。
明显可以得到计算公式：

$$C_n^m=\frac{P_n^m}{P_m^m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

例题1

由1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复的数字，并且大于21300的正整数？

解法1：

满足题意的数大致可以分成三类：
万位3，4，5的有$P_3^1\times P_4^4$个。
万位2，千位3，4，5的有$P_3^1\times P_3^3$个。
万位2，千位1的有$P_3^3$个。
由加法原理：$P_3^1\times P_4^4+P_3^1\times P_3^3+P_3^3=96$

解法2

由1，2，3，4，5组成的没有重复数位的五位数共有$P_5^5$个，其中只有万位数字为1的数不大于21300，这样的数有$P_4^4$个，故符合条件的正整数的个数是

$$P_5^5-P_4^4=5!-4!=96$$

有重复的排列组合

可重复排列

从$n$个不同元素中取$m$个元素(同一元素允许重复取出)，按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取$m$个元素的可重复排列，这种排列的个数是$n^m$，用乘法原理易证。

可重复组合

从$n$个不同元素中取$m$个元素(同一元素允许重复取出)，叫做从$n$个不同元素中取$m$个元素的可重复组合，这种组合的个数是$C_{n+m-1}^{m}$

证明

用$1，2，…，n$表示n个不同的元素，那么可重复组合有以下的形式：

$$\{i_1,i_2,…,i_m\}(1\leq i_1\leq i_2\leq…\leq i_m\leq n).$$

因为允许重复选取，等号可以成立。

将上述每个组合自左向右逐个分别加上：0，1，2，…,(m-1),得到

{
j1,j2,…,j,m} { j 1 , j 2 , … , j , m }
$\{j_1,j_2,…,j_,m\}$，其中

j1=i1,j2=i2+1,j3=i3+2，以此类推 j 1 = i 1 , j 2 = i 2 + 1 , j 3 = i 3 + 2 ， 以 此 类 推
$j_1=i_1,j_2=i_2+1,j_3=i_3+2，以此类推$。这些j满足互不相同的条件，所以这是从

n+m−1 n + m − 1
$n+m-1$中取

m m
$m$个不同元素的组合。也就是


Cmn+m−1

$C_{n+m-1}^m$
$C_{n+m-1}^{m}$。

不全相异的全排列

如果$n$个元素中分别有$n_1,n_2,…n_k$个元素相同，所以$\sum_{i=1}^{k}n_i=n$其不同排列的个数有$\frac{n!}{n_1!n_2!…n_k!}$

证明

设符合条件的排列数为$f$，因为每一类相同元素交换排列顺序，仍然属于同一种排列，如果每一类元素都换成互不相同的元素，则有$n_1!\times n_2!\times …\times n_k!$种变化，于是根据乘法原理，可以得出$n$个不同元素的排列数为$f\times n_1!\times n_2!\times …\times n_k!$，而实际上，$n$个不同元素的排列数应该为$n!$，于是得，$f\times n_1!\times n_2!\times …\times n_k!=n!$所以可求出$f$。

多组组合

把$n$个相异元素分为$k(k\leq n)$个按照一定顺序排列的组，其中第$i$组有$n_i$个元素$(i=1,2,…,k)$。则不同的组合数有$\frac{n!}{n_1!n_2!…n_k!}$乘法原理易证。

例题2

从$n>=6$名乒乓球选手中选拔出3对选手准备参加双打比赛，共有多少种不同分法

解法1

从$n$名选手中选出6名选手有$C_n^6$种方法，将这6名选手分成3不同的组，每组2名的分法就是多组组合，但是因为三对选手不计顺序，故所求的方法数应为：

$$\frac{C_n^6\times \frac{6!}{2!\times 2!\times 2!}}{3!}=\frac{n!}{48\times (n-6)!}$$

解法2

从$n$名选手中找出6有$C_n^6$种方法，选出的6人中选出2人配对有$C_6^2$种方法，剩下4人再选出2人配对有$C_4^2$种方法，剩下2配对有1种方法，所以共有：

$$\frac {C_n^6\times C_6^2\times C_4^2}{3!}=\frac{n!}{48\times (n-6)!}$$

相异元素的圆排列和项链数

圆排列

将$n$个不同元素不分首尾排成一个圆，就是圆排列，n个元素的圆排列数有$(n-1)!$个。

项链数

将$n$个珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数当$n=1或2的时候是1$，当$n>=3$的时候是$\frac12\times (n-1)!$。也就是圆排列的一半。

一类不定方程的非负整数解的个数

不定方程$x_1+x_2+…+x_m=n(m,n∈N_+)$的非负整数解的个数为$C_{n+m-1}^{m-1}$