概率论基本公式

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条件概率

在事件B发生的前提条件，事件A发生的概率：

$P(A/B)=P(AB)/P(B)$

独立事件

$P(AB)=P(A)P(B)$

概率基础公式

加法：$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
减法：$P(A-B)=P(A)-P(AB)$
乘法：$P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)$

全概率公式：

一个试验可以分成两个阶段：

• 事件$A$可分成完备事件组：$A_1$、$A_2$、$A_3$…
• 每种情况($A_i$)下，完成的概率。

假设$A_1$、$A_2$、$A_3$是$A$的完备事件组，那么事件$B$发生的概率：

$P(B)=P(B(A_1\bigcup A_2\bigcup A_3))=P(B{A}_1\bigcup B{A}_2\bigcup B{A}_3)=P(B{A}_1)+P(B{A}_2)+P(B{A}_3)=P(A_1)P(B/A_1)+P(A_2)P(B/A_2)+P(A_3)P(B/A_3)$

实际上，全概率公式可以简记为：$P(B)=\sum P(A_i)P(B/A_i)$

贝叶斯定理

若已知事件B发生了，执果索因：

$P(A_j/B)=\frac{P(A_{j}B)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B/A_j)}{\sum P(A_i)P(B/A_i)}$

例子：如下图所示，小明上学有三种不同的方式：$A_1$、$A_2$、$A_3$，选择每种出行方式的概率分别为：0.5、0.3、0.2，B事件表示小明上学迟到了。现已知小明今天迟到了，问小明是按照$A_1$出行方式迟到的概率？

切比雪夫不等式

$p(|x-u|>k\partial )<=1/(k^2)$, 满足k>0,u为期望,∂为标准差

绝大多数数据都应该在均值附近

抽球

• 有放回的抽取，抽取 m 个排成一列，求不同排列总数：
  
• 无放回的抽取，抽取 m 个排成一列，求不同排列总数:
  

纸牌问题

问题：54 张牌，分成 6 份， 每份 9 张牌， 大小王在一起的概率？

54张牌分成6等份，共有M=(C54取9)(C45取9)…种分法。
其中大小王在同一份的分法有N=(C6取1)(C52取7)(C45取9)*…种。
因此所求概率为P=N / M

棍子/绳子问题

问题：一根棍子折三段能组成三角形的概率？

假设：棍子长度为1，第一段长度为x， 第二段长度为y， 第三段长度1-x-y

分母：总的样本空间是：x+y<1，面积是0.5

分子：两边之和大于第三边，可列得如下不等式组：x+y>1-x-y; 1-x-y+y>x; 1-x-y+x>y。面积是0.125

故概率是：0.125/0.5 = 0.25

选择时间问题

问题：一个活动,n个女生手里拿着长短不一的玫瑰花,无序的排成一排,一个男生从头走到尾,试图拿更长的玫瑰花,一旦拿了一朵就不能再拿其他的,错过了就不能回头,问最好的策略及其概率?

1/e

0~1均匀分布的随机器如何变化成均值为0，方差为1的随机器

均匀分布：
E(x) = (a+b)/2
标准差：D(x) = (b-a)^2/12

所以只需要对x做变换：sqrt(12(x-1/2))即可

抽红蓝球球

问题：抽蓝球红球，蓝结束红放回继续，平均结束游戏抽取次数

假设设抽到 蓝球 的概率为 p ， 设抽到红球的概率为 q， 那么抽取到的次数为：

$E=1\cdot p+2p\cdot q+...+np\cdot q^{n-1}$

可得,

$E=p(1+2q+...+n{q}^{n-1})$,

令,

$1+2q+...+n{q}^{n-1}=s$

再由s为等比公式和s-sq得,

$E=sp=s(1-q)=s-sq=1/p$

$s-sq=(1+2q+...+n{q}^{n-1})-(q+2q^2+...+n{q}^n)=1+q+q^2+...+q^{n-1}-n{q}^n$