代数结构：群、环、域、模、线性空间、格

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群

定义

设$G$是非空集合，代数结构$(G,\circ )$叫做群，如果$G$上的二元运算$\circ$满足

1. 结合律：$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. 单位元：$e\circ g=g\circ e=g$
3. 逆元：$g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=e$

环

定义

设$R$是非空集合，代数结构$(R,+,\cdot )$叫做环，如果$R$上的两个运算满足

1. $(R,+)$是交换加法群，其中的单位元叫做零元$0_R$
2. 乘法的结合律：$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
3. 乘法对加法的左分配律：$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
4. 乘法对加法的右分配律：$(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$

域

定义

设$F$是至少包含$2$个元素的集合，代数结构$(F,+,\cdot )$叫做域，如果满足如下条件，

1. $F$是交换环：$r\cdot s=s\cdot r$
2. $F$是含幺环：$1_F\cdot r=r\cdot 1_F=r$
3. $F$的每个非零元都有逆元。

模

定义

设$M$是非空集合，令$R$是环，代数结构$(M,+)$叫做一个$R-$模，如果它满足

1. $M$是交换加法群
2. 环作用$R\times M\to M$满足如下条件，
   1. 环作用对加法的左分配律：$r\cdot (u+v)=r\cdot u+r\cdot v$
   2. 环作用对加法的右分配律：$(r+s)\cdot v=r\cdot v+s\cdot v$
   3. 环作用的结合律：$r\cdot (s\cdot v)=(r\cdot s)\cdot v$
   4. 稳定性：$1_R\cdot v=v$

线性空间

定义

设$V$是非空集合，其中的元素叫做（广义）向量。令$F$是域，其中的元素叫做纯量。代数结构$(F,V,+,\cdot )$叫做一个线性空间，两个运算为

1. 加法运算，映射$S:V\times V\to V,(u,v)\mapsto u+v$
2. 数乘运算，映射$M:F\times V\to V,(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$

并满足如下公理，

1. 加法结合律，$(u+v)+w=u+(v+w)$
2. 加法交换律，$v+u=u+v$
3. 零向量，$v+0=v$
4. 负向量，$v+(-v)=0$
5. 纯量乘法的结合律，$\lambda (\mu v)=(\lambda \mu )v$
6. 数乘单位元，$1_F\cdot v=v$
7. 数乘对向量加法的分配律，$\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v$
8. 数乘对纯量加法的分配律，$(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$

格

定义

设$V$是非空集合，代数结构$(\mathbb{Z},V,+,\cdot )$叫做一个格，如果它满足

1. $L$是线性空间${\mathbb{R}}^n$的加法子群，
2. $L$是离散的， L ∩ { x + e : e ∈ R n , ∥ e ∥ ≤ ϵ ∈ R + } = { x } ,   ∀ x ∈ L L \cap \{x+e: e \in \mathbb R^n,\|e\| \le \epsilon \in R^+\} = \{x\},\, \forall x \in L L∩{
   x+e:e∈Rn,∥e∥≤ϵ∈R+}={
   x},∀x∈L