线性代数——行列式

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• 行列式的几何意义
• 全排列
• n阶行列式的定义
• 行列式的性质
• 行列式的性质
• 行列式按行按列展开

行列式的几何意义

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

线性变换

线性映射是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持向量的可加性和成比例性，而线性变换是线性空间V到其自身的线性映射。

$$
可加性：L(\vec{v}+\vec{w})=L(\vec{v})+L(\vec{w})\\ 成比例性：L(c\vec{v})=cL(\vec{v})\\ 线性变换保持向量加法运算和数乘运算
$$

 

微分算子是线性的，即求导具有可加性和成比例性

向量空间

向量空间满足向量加法和数乘规则

$$
1.&\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}\\ 2.&\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}\\ 3.&向量加法的单位元存在\\ 4.&每个向量的加法逆元均存在\\ 5.&a(b\vec{v})=(ab)\vec{v} \\ 6.&1\vec{v}=\vec{v}向量乘法的单位元存在\\ 7.&a(\vec{v}+\vec{w})=a\vec{v}+a\vec{w} \\ 8.&(a+b)\vec{v}=a\vec{v}+b\vec{v} \\
$$

 

向量空间亦称线性空间；欧几里得空间是指一类特殊的向量空间，对通常3维空间的向量讨论长度、夹角等几何性质。

全排列

定义：把n个不同的元素排成一列，叫做n个元素的全排列。简称排列

逆序数的定义：对于n个不同不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n个元素的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就构成了一个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

计算逆序数的方法：

n阶行列式的定义

定义：设有n2个数，排成n行n列的数表

$$
a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\
$$

做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}…a_{np_{n}}.(1)其中p1,p2,p3…p n为自然数1,2,3,4…n的一个排列，t为这个排列的逆序数。将所有形如(1)式的所有项(n!项)的代数和\sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}…a_{np_{n}}称为n阶行列式。

$$
D= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{bmatrix}
$$

简称det(a_{ij})，其中a_{ij}为行列式D的(i , j)元。

上三角行列式

对角行列式

行列式的性质

性质1：行列式与它的转置行列相等。

性质2：对换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于0。

性质3：行列式的某一行（列）中所有元素都乘同一个数K，等于用数K乘此行列式。

推论: 行列式中某一行（列）中的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

性质4：行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式等于0。

性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则D等于这两个行列式之和。

性质6：把行列式的某一行（列）的各个元素乘同一个数然后加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。

行列式按行按列展开

在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行第j列划去后，留下的n-1阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jM~ij为代数余子式。

引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元aij外都是0，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积。

定理2：行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应的代数余子式成绩之和。

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。