p级数敛散性积分方式证明

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同济大学出版的高等数学无穷级数这一章，关于常数项级数的审敛法，证明p级数敛散性问题，对其积分法不甚明了，所以记录下自己思索的过程：

讨论p级数：
$$1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+.....+\frac{1}{n^p}+....$$
的收敛性，其中常数 $p$>0

当p=1时，p级数称为调和级数

第一个问题用比较审敛法很好证明，我顺利的明白了。
即当$p\le 1$时，有$\frac{1}{n^p}\ge \frac{1}{n}$,调和级数是发散的，按照比较审敛法：
若$v_n$是发散的，在n>N,总有$u_n\ge v_n$,则$u_n$也是发散的。

调和级数$\frac{1}{n}$是发散的，那么p级数也是发散的~！

第二个条件则证明变得繁琐：

当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，我们取一个邻域区间，使邻域区间
$x\in [k,k-1]$使得某个函数在$[k,k-1]$邻域区间内的积分小于$\frac{1}{x^p}$在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。

这个证明的比较函数取的很巧妙，，令$k-1\le x\le k$,那么$\frac{1}{k^p}\le \frac{1}{x^p}$.
利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。
$$\frac{1}{k^p}={\int }_{k-1}^k\frac{1}{k^p}dx(这里是对x积分而不是k)\le {\int }_{k-1}^k\frac{1}{x^p}$$
其中$（k=2,3....）$

讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。
$$s_n=1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^p}（p级数）\le 1+\sum _{k=2}^n{\int }_{k-1}^k\frac{1}{x^p}=1+{\int }_1^n\frac{1}{x^p}dx=1-\frac{1}{p-1}[n^{-p+1}-1]\le 1+\frac{1}{p-1}(p为常数)$$

其中：

$$(其中n>1,p>1,则0<n^{-p+1}<1,则-1<n^{-p+1}-1<0，进而0<-\frac{1}{p-1}[n^{-p+1}-1]<\frac{1}{p-1})$$

这里利用积分区间的可加性:
$${\int }_{D_1}f(x)dx+{\int }_{D_2}f(x)dx={\int }_{D_1+D_2}f(x)dx$$
求一下初等函数的原函数就搞定了！呵呵，只能说这个思路不太容易想到。