函数极限＜4＞——无穷小量的阶

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

无穷小量的阶

无穷小量的阶

定义4.1 高阶无穷小量

若${\lim }_{x\to x_0}\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=0$,则称当$x\to x_0$时,$u\left(x\right)$是$v\left(x\right)$的高阶无穷小量,记为$u\left(x\right)=o\left(v\left(x\right)\right)$,相对的,当$x\to x_0$时,$v\left(x\right)$是$u\left(x\right)$的低阶无穷小量,此时${\lim }_{x\to x_0}\frac{v\left(x\right)}{u\left(x\right)}=(\pm )\infty$。

定义4.2 同阶无穷小量

若在$x_0$的某一去心邻域内,$\left|\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\right|\le A(A\in \mathbb{R})$,则称当$x\to x_0$时,$u\left(x\right)$是$v\left(x\right)$的同阶无穷小量,记为$u\left(x\right)=O\left(v\left(x\right)\right)$。若$A=k(k\in {\mathbb{N}}_{+})$,则称为$k$阶无穷小量,若$k=1$,则称为等价无穷小量。
若$\forall k\in {\mathbb{N}}^{+}$,${\lim }_{x\to x_0}\frac{x^k}{f\left(x\right)}=0$,即$x^k=o\left(f\left(x\right)\right)$,记$f\left(x\right)=o\left(1\right)$,也就是不可知确切阶数$k$的一般无穷小量。
若$g\left(x\right)$本身为有界量,则记$g\left(x\right)=O\left(1\right)$,作为有界量的通用表示。

无穷大量的阶

与无穷小量的阶的定义对偶,高阶无穷大的定义参照低阶无穷小,低阶无穷大的定义参照高阶无穷小,同阶无穷大及阶数$k$与无穷小量保持一致。

定理 4.1

若函数$u\left(x\right)$,$v\left(x\right)$,$w\left(x\right)$均在$x_0$的邻域内有定义,且${\lim }_{x\to x_0}\frac{v\left(x\right)}{w\left(x\right)}=1$,则有以下结论成立:
(1)${\lim }_{x\to x_0}u\left(x\right)v\left(x\right)={\lim }_{x\to x_0}u\left(x\right)w\left(x\right)=A$;
(2)${\lim }_{x\to x_0}\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{u\left(x\right)}{w\left(x\right)}=A$。