【电机学复习笔记】同步电机的基本电磁关系

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1 同步发电机的空载特性

空载运行：同步发电机被原动机拖动到同步速，转子绕组通入直流励磁电流而电枢绕组开路的运行状态

由电动势方程${\dot{E}}_0=4.44fN{k}_{N1}\dot{{\Phi }_0}$由电动势方程改变励磁电流，就可得到不同的磁通和电动势，上方曲线表示同步速下空载电动势与励磁电流的关系，为空载特性（也就是 #磁化曲线）

2 三相同步发电机的电枢反应

2.1 电枢反应定义

电枢反应：负载时电枢磁动势的基波对主极磁场基波的影响，电枢磁动势又称为电枢反应磁动势。

2.2 时空相矢图

分析电枢反应采用：时空相矢图（很重要）
把空间轴线与时间轴线重合在一起，空间矢量和时间相量画在一张图中
一张图中有时间相量也有空间矢量：

2.2.1 空间矢量

沿空间按正弦分布的量
1、基波励磁磁动势、磁密：转子N极指向

2、电枢磁动势：某相电流最大时，转到该相绕组轴线上，与电流符合右手螺旋定则。

2.2.1 时间相量

随时间按正弦变化的量
1、空载电动势：相位由转子位置决定，当电动势正方向与电流正方向一致（可能有不一致的情况出现，注意辨别，右手定则判断。），感应电动势在最大，位于时间轴线上。

2、电枢电流：与空载电动势之间相差一个内功率因数角（决定于同步机内部阻抗负载特性）

将时间轴（+t）与空间轴（+A）重合，可得时空相矢图如下：

由以上空间相矢图关系可分析得：
${\dot{E}}_0$总是落后${\overrightarrow{F}}_{f1}$ 90°，${\overrightarrow{F}}_a$总是与 重合。 与$\dot{I}$之间的相位差$\Psi$随着负载性质而改变，而${\overrightarrow{F}}_a$与${\overrightarrow{F}}_{f1}$之间的相位差为(90°+ $\Psi$),完全取决于$\Psi$，因此可得结论：
单机运行时电枢反应的性质是由负载性质（内功率因数角）决定的。

可总结出如下关系：

总结：

交轴电枢反应磁动势使气隙磁场扭斜，从而进行机电能量转换，是实现机电能量转换的必要条件；

直轴电枢反应磁动势对励磁磁动势起增强或削弱作用。

3 三相同步发电机的方程式、同步电抗和相量图

三相同步发电机因气隙分布的不同分为凸极机和阴极机，他们的方程式、同步电抗和相量图因为气隙电抗的不同而有所不同，下面分别进行讨论

3.1 1 隐极同步发电机的方程式、同步电抗和相量图

隐极机气隙磁场均匀

3.1.1.1 不考虑饱和时

不考虑饱和，励磁电流与主磁通之间为线性关系，此时同步机为一线性系统，可应用叠加定理
电磁关系：

电枢反应电抗:
一相电动势平衡方程式（励磁+电枢反应+漏磁）:
$${\dot{E}}_0+{\dot{E}}_a+{\dot{E}}_{\sigma }=\dot{U}+\dot{I}{r}_a\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

对于电枢电动势$E_a$：$E_a\propto I$且$E_a$落后于${\Phi }_a(I)$ 90°，因此${\dot{E}}_a$可写成一负的漏抗压降的形式：
$${\dot{E}}_a=-j\dot{I}{x}_a$$

由交流绕组电动势关系：
$$E_a=4.44fN{k}_{N1}{\Phi }_a\Rightarrow E_a\propto {\Phi }_a$$
同时不考虑饱和以及定子铁耗时：
$${\Phi }_a=F{\Lambda }_a\Rightarrow {\Phi }_a\propto F$$
由交流绕组磁动势关系：
$$F=1.35\frac{IN}{p}{k}_{N1}\Rightarrow F\propto I$$

同理，漏磁电动势也可写成一负的漏抗压降的形式：
$${\dot{E}}_{\sigma }=-j\dot{I}{x}_{\sigma }$$

因此，式（3.1）可写成：
$$\begin{array}{rl}{\dot{E}}_0& =\dot{U}+\dot{I}(r_a+j(x_a+x_{\sigma }))\\ & =\dot{U}+\dot{I}(r_a+j{x}_s)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

$x_a$为电枢反应电抗，是一个等效电抗，应理解为三相对称电流系统联合产生的电枢反应磁场所感应于一相中的电动势与相电流的比值。

$x_s=x_a+x_{\sigma }$同步电机的同步电抗，是同步电机的基本参数之一，反应对称稳态运行形势电枢磁场与电枢漏磁场的参数

注：气隙及饱和对同步电抗的影响

通过对（3.2）式变型，可得气隙电动势：
$${\dot{E}}_{\delta }={\dot{E}}_0+{\dot{E}}_a=\dot{U}+\dot{I}{r}_a+j\dot{I}{x}_s$$
因此，等效电路为：

相量图为：

图中共有三个夹角：功率因数角$\phi$，内功率因数角$\psi$，功率角$\theta$

功率因数角$\phi$

$\dot{U}$与$\dot{I}$之间的相位角，单机运行时决定于负载性质
$$\{\begin{array}{ll}\phi >0& \text{发出感性无功}\\ \phi =0& \text{不发出无功}\\ \phi <0& \text{发出容性无功}\end{array}$$

内功率因数角$\psi$

${\dot{E}}_0$与$\dot{I}$之间的相位角，单机运行时决定于负载性质以及电机本身参数
$$\{\begin{array}{ll}\phi >0& \text{既有交轴电枢反应，又有直轴去磁电枢反应}\\ \phi =0& \text{只有交轴电枢反应}\\ \phi <0& \text{既有交轴电枢反应，又有直轴助磁电枢反应}\end{array}$$

功率角$\theta$

${\dot{E}}_0$与$\dot{U}$之间的相位角，由输入功率决定，决定运行状态
$$\{\begin{array}{ll}\theta >0& \text{E˙0超前于U˙，输入机械功率，发电机运行}\\ \theta <0& \text{E˙0滞后于U˙，输入电功率，电动机运行}\end{array}$$

3.1.1.2 考虑饱和时

不能应用叠加定理，必须求出磁动势，通过磁化曲线求解。
电磁关系:

气隙电动势、磁动势方程：
$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{F}}_{\delta }& ={\overrightarrow{F}}_{f1}+{\overrightarrow{F}}_a\\ {\dot{E}}_{\delta }& =\dot{U}+\dot{I}{r}_a+j\dot{I}{x}_{\sigma }\end{array}$$
磁动势电动势相矢图:

绘制步骤：基于空载特性曲线 #磁化曲线
已知:$U、I、\cos \phi 、r_a、x_{\sigma }$

1、根据${\dot{E}}_{\delta }=\dot{U}+\dot{I}{r}_a+j\dot{I}{x}_{\sigma }$ ,绘制气隙电动势：${\dot{E}}_{\delta }$

2、由${\dot{E}}_{\delta }$位置绘制气隙磁动势：${\overrightarrow{F}}_{\delta }$
${\overrightarrow{F}}_{\delta }$相位：超前于${\dot{E}}_{\delta }$ 90°
${\overrightarrow{F}}_{\delta }$大小：

空载特性（磁化曲线）一般都是用励磁磁动势的幅值或励磁电流作为横坐标，而隐极电机励磁磁动势为一阶梯波，那么，用电动势从特性曲线上得到的磁动势就是一阶梯波的等效磁动势，因此需要进行折算，将阶梯波折算为正弦波。

等效思路是让两个波形产生同样的正弦磁通（如上）

折算系数$f_a=\frac{1}{k_f}$物理意义：一个基波电枢磁动势乘以折算系数 就换算成了一个等值的阶梯波励磁磁动势。

那么通过磁化曲线，可由$E_{\delta }$查出一阶梯波$F_{\delta }^{\prime }$，再经$F_{\delta }=k_f{F}_{\delta }^{\prime }$折算可得基波气隙磁动势。

3、作出电枢反应磁动势：${\overrightarrow{F}}_a$
${\overrightarrow{F}}_a$相位：与 $I$ 重合
${\overrightarrow{F}}_a$大小：$F_a=1.35\frac{IN}{p}{k}_{N1}$

4、根据${\overrightarrow{F}}_{\delta }={\overrightarrow{F}}_{f1}+{\overrightarrow{F}}_a$，作出基波励磁磁动势

5、将基波励磁磁动势${\overrightarrow{F}}_{f1}$折算为阶梯波励磁磁动势${\overrightarrow{F}}_f$：${\overrightarrow{F}}_f=k_a{\overrightarrow{F}}_{f1}$

6、作出空载电动势${\dot{E}}_0$
${\dot{E}}_0$相位：滞后于${\overrightarrow{F}}_f$ 90°
${\dot{E}}_0$大小：由${\overrightarrow{F}}_f$从磁化曲线求取

要注意，在负载时，虽然有励磁磁动势 ${\overrightarrow{F}}_f$ ，但是不存在 ${\dot{E}}_0$ ,实际绕组中只存在气隙电动势${\dot{E}}_{\delta }$；只有负载取出后， ${\dot{E}}_0$ 才表现出来。

通过以上磁动势-电动势相量图，可计算电压调整率：
电压调整率：当励磁电流保持不变，发电机从满载和额定电压下逐渐甩去全部负荷时，电压变化的百分数

3.1 2 凸极同步发电机的方程式、同步电抗和相量图

凸极同步发电机的气隙是不均匀的，极弧下气隙较小，极间部分气隙较大，因此同一电枢磁动势作用在不同的位置时电枢反应将不一样，因此其方程式、同步电抗和相量图与凸极电机有很大的不同

3.1.2.1 凸极同步发电机的双反应理论

为什么要引入双反应理论？

凸极电机气隙不均匀，同一电枢磁动势位于不同位置磁路磁阻不同。

励磁磁动势位于直轴，当电枢磁动势不位于直轴，不能只把电枢磁动势进行波形折算后直接在空载特性上求取电动势。

双反应理论

把电枢反应分为直轴和交轴电枢反应的处理方法，叫做双反应理论。

考虑凸极电机中气隙的不均匀性，当电枢磁动势的轴线既不和直轴又不和交轴重合时，把电枢磁动势分解为直轴分量和交轴分量，然后分别分析直轴和交轴电枢反应，最后再把效果叠加。

3.1.2.2 不考虑饱和时

不考虑饱和，励磁电流与主磁通之间为线性关系，此时同步机为一线性系统，可应用叠加定理
电磁关系：

电枢反应电抗:
一相电动势平衡方程式（励磁+电枢反应+漏磁）:
$${\dot{E}}_0+{\dot{E}}_{ad}+{\dot{E}}_{aq}+{\dot{E}}_{\sigma }=\dot{U}+\dot{I}{r}_a\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

与3.1.1.1节分析一致：
$${\dot{E}}_{ad}=-j\dot{I}{x}_{ad}$$
$${\dot{E}}_{aq}=-j\dot{I}{x}_{aq}$$
$x_{ad}$、$x_{aq}$分别为直轴、交轴电枢反应电抗。是一个等效电抗，应理解为三相对称电流系统联合产生的电枢反应磁场所感应于一相中的电动势与相电流的比值。


电抗与磁导成正比，交轴气隙长，磁导小，电抗小，因此可得：$x_{ad}>x_{aq}$

因此，式（3.3）可写成电动势方程形式：
$$\begin{array}{rl}{\dot{E}}_0& =\dot{U}+\dot{I}{r}_a+j{\dot{I}}_d(x_{ad}+x_{\sigma })+j{\dot{I}}_q(x_{aq}+x_{\sigma })\\ & =\dot{U}+\dot{I}{r}_a+j{\dot{I}}_d{x}_d+j{\dot{I}}_q{x}_q\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

$x_d$、$x_q$为凸极电机直轴、交轴同步电抗
根据$x_{ad}>x_{aq}$可得$x_d>x_q$

相量图

已知 $\dot{U}、\dot{I}、\cos \phi 、电机参数$ 绘制相量图方法（内功率因数角一般未知）：

1、首先确定q，d轴位置，即确定内功率因数角$\psi$的大小
通过引入电动势${\dot{E}}_Q$解决：$${\dot{E}}_Q=\dot{U}+\dot{I}{r}_a+j\dot{I}{x}_q$$
${\dot{E}}_0$ 与${\dot{E}}_Q$同相位，因此${\dot{E}}_Q$超前$\dot{I}$的夹角即为$\psi$。

2、将$\dot{I}$分解为${\dot{I}}_d$、${\dot{I}}_d$。$${\dot{E}}_0=\dot{U}+\dot{I}{r}_a+j{\dot{I}}_d{x}_d+j{\dot{I}}_q{x}_q$$
${\dot{E}}_0$ 位于交轴，一般只求大小：$E_0=U\cos \theta +I{r}_a\cos \psi +I_d{x}_d$

等效电路图（简化）:
实际上并不存在${\dot{E}}_Q$，但是${\dot{E}}_Q$ 与${\dot{E}}_0$ 大小接近，相位一致，常用${\dot{E}}_Q$近似代替${\dot{E}}_0$ 。

3.1.2.3 考虑饱和时(未完成)