高数-隐函数求导

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什么是隐函数

一个方程，两个未知数

 一个方程，三个未知数

方程组求偏导

隐函数求导一般有两种情形，一种是单个方程，另一种是方程组。下面来介绍这两种情形的求导方法。

什么是隐函数

首先我们要明确：什么是隐函数？什么是显函数？

容易看出，式子 F(x,y) = 0 与 y = f(x) ,在本质上是一样的，都确定了x与y的关系。只不过两个式子的表现形式不同，y = f(x) 这个式子很明显y是因变量，x是自变量，是显式的；而将其移项，y – f(x) = 0，也即F(x,y) = 0，这种式子谁是谁的函数关系并不清楚，所以是隐式的。

所以F(x,y) = 0这种形式的当然是隐函数喽。然而，大多数方程不能表现为显式的，甚至也不能确定y与x的一一对应关系，所以我们不仅要掌握显式函数求导的链式法则，也要知道隐函数该如何下手求导。

一个方程，两个未知数

隐函数存在定理1给出了公式：

这个公式如何证明已经超出了我的能力范围，暂且仅给出该公式的推导吧。

由于y是x的函数，则 F(x,y) = 0 可以写成 F(x,f(x)) = 0，则式子两边同时对x求导得：

求二导的时候也是如此，直接对一阶导求二导，同样把y看成x的复合函数，即

 一个方程，三个未知数

我们来将二元的隐函数推广到三元，由隐函数存在定理2给出公式：

对于方程 F(x, y, z) = 0 ，

在这里我也只能仅仅给出推导。在这个方程 F(x ,y, z) = 0 中，总共有三个未知数，有一个方程，则有一个因变量，那么就有3-1=2个自变量，如果将z看成因变量，将x和y看成自变量的话，即z = f(x, y) ,式子可以写成 F(x, y, f(x, y)) = 0 ，接着，等式两边同时对x求导：

，

同理，等式两边同时对y求导：

求二导和二元隐函数方法是一样的，这里就不作赘述了。

方程组求偏导

F(x, y, u, v) = 0

G(x, y, u, v) = 0

在这个方程组中，总共有4个未知数，有两个方程，则有两个因变量，那么还有两个自变量，所以该方程组确定了两个二元隐函数。那么我们不妨假设u,v是因变量，x,y是自变量，那么由该方程组确定的两个隐函数为u = f(x, y), v = f(x, y), 因此，方程组可写为：

F(x, y, f(x,y), g(x,y)) = 0 

G(x, y, f(x,y), g(x,y)) = 0 

然后方程组的等式两边同时对x求导，可以利用复合函数的求导法则链式法则：

接下来，就是分别计算u,v对x的偏导了。这里提供两种方法，一种是高中学习的消元法，另一种是运用克拉默法则。消元法比较简单，但是计算起来比较复杂，不太推荐，下面重点介绍第二种方法。

 对式子进行移项处理后就可以使用克拉默法则来算了。

PS：我之前一直不理解为什么方程组中的求导是复合函数求导，而将方程组中的式子拿出来求偏导就只能用公式法了，不能使用复合函数求导。今天问了高数老师，老师告诉我：“那是数学家整出来的，给你解释了也没啥意思，会做题就行了。”所以目前我还是不理解，但是确实不影响做题，老师既然实力劝退，那我还是不管它了吧，它目前超出了我的能力范围。