【数学(一)集合与常用逻辑用语】集合与集合间的基本关系

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文章目录

• 一、集合的概念
• • 1.1 集合的概念与性质
  • 1.2 集合相等
  • 1.3 属于与不属于
  • 1.4 数学中常用的一些数集
  • 1.5 集合的表示方法
  • • 1.5.1 列举法
    • 1.5.2 描述法
• 二、集合间的基本关系
• • 2.1 子集与真子集的概念
  • • 2.1.1 子集
    • 2.1.2 真子集
  • 2.2 空集
  • 2.3 Venn图（韦恩图）
  • 2.4 子集的传递性
  • 2.5 一些总结

一、集合的概念

1.1 集合的概念与性质

首先我们先来看几个概念

其实很好理解，比如我们要研究一头羊，那么一只羊就可以被叫做元素，整个羊群就可以被称为集合。既然一个羊群可以被看成一个集合，那么我们可以来尝试想想一下集合的性质

• 集合中的元素必须是确定的（确定性）；
• 集合中的元素是不重复出现的（互异性）；
• 集合中的元素是无序的（无序性）；

我们还是拿羊群来简单理解一下上面的三条性质

• 一只羊是否在这个羊群中是确定的，也就是说不存在可能在这种模棱两可的情况，这对应集合的确定性。
• 羊群中的每一头羊都是独一无二的，这对应集合的互异性。
• 另外羊群中的羊都没有一个固定的什么顺序，这对应集合的无序性。

我们通常用大写的应为字母表示集合，用小写的英文字母表示集合中的元素。

1.2 集合相等

当两个集合中的元素完全一样时，我们就说这两个集合相等。

1.3 属于与不属于

首先我们需要明确的是，属于和不属于是描述元素与集合间的关系的概念

• 如果一个元素a在集合A中，那么我们就说元素a属于集合A，记作a$\in$A；
• 如果一个元素a不在集合A中，那么我们就说元素a不属于集合A，记作a$\notin$A；

1.4 数学中常用的一些数集

下面我们来整理一下数学中常用的一些数集，实际在课本中已经有介绍，我们这里只是再更好地去整理一下

这里插一个简单的小问题，数字0属于上面的哪个集合呢？根据我们之前的知识，0既不属于正数也不属于负数，所以肯定不是前两个，0属于整数，所以0属于整数集Z，另外0也是有理数，所以0也属于有理数集Q，再者0还是实数，所以0也属于实数集R。

修改补充：0也属于非负整数（自然数），所以0也属于非负整数集N。

1.5 集合的表示方法

集合的表示方法有很多，我们这里先来介绍两种——列举法和描述法。

1.5.1 列举法

顾名思义，列举法就是将集合中全部的元素列举出来，比如我们想表示一个集合A，集合A中有a,b,c三个元素，我们可以这么写 A = { a , b , c } A = \{a,b,c\} A={
a,b,c}。

1.5.2 描述法

虽然列举法很方便，我们可以很快的知道集合中所包含的元素，但是如果说我们这个集合很大，包含地元素很多，此时我们再使用列举法来表示集合就会显得很蠢，而且很浪费时间，这时我们可以选描述法，比如上面我们在1.4小节中介绍数学中常用的一些数集的时候使用的就是描述法表示的集合。

纯粹的语言描述并不是我们数学所追求的，我们更希望使用数学语言来描述一个集合，课本上给我们提供了一个例子，我们来简单看一下。

比如我们要描述方程 $x-7<3$的解集，很明显它的解集 $x<10$是一个无穷多的数，我们肯定不可以用列举法来表示它的解集，此时我们可以使用描述法来表示它的解集。我们先尝试用语言描述来表示一下它的解集，该方程的解集是$x$小于$10$而且$x$属于实数集$R$，用描述法来表示，转换成数学语言可以这么表示 { x ∈ R ∣ x < 10 } \{ x \in R | x < 10 \} {
x∈R∣x<10}。

二、集合间的基本关系

2.1 子集与真子集的概念

首先我们来了解一下子集与真子集的概念

2.1.1 子集

一般的，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A是集合B的子集，举个简单的例子，比如全国高一年级的全部学生是一个集合A，那么可以把每个学校的高一学生作为集合B、C、D…，很明显，集合B、C、D…中的全部元素都可以在集合A中找到，所以可以说集合B、C、D…是集合A的子集。

如果集合A是集合B的子集，我们通常说A包含于B，记作$A\subseteq B$，也可以说B包含A，记作$B\supseteq A$。

我们考虑一个问题，如果A包含于B，且B包含于A，那么A和B两个集合是什么关系？

我们先来分析一下，根据定义，A包含于B，也就是说A中的任意元素都是B中的元素，B包含于A，也就是说B中的任意元素都是A的元素，这么一想A和B两个集合应该是完全相同的，根据上面介绍的集合相等的定义，A = B，所以我们就得出一个结论，如果集合A包含于集合B，且集合B包含于集合A，那么集合A等于集合B，用数学语言描述就是$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，$A=B$。

2.1.2 真子集

我们先来看你一下真子集的概念，如果集合A是集合B的子集，但是元素x $\in$ B，但是x $\notin$ A，那么集合A是集合B的真子集，我们可以说集合A真包含于集合B，记作A ⫋ B，也可以说集合B真包含集合A，记作B ⫌ A。

2.2 空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作$\varnothing$，我们规定空集是任何集合的子集。

2.3 Venn图（韦恩图）

上面在介绍子集和真子集的概念时不知道你有没有感觉理解起来可能稍微有些不太好理解，我们接下来要介绍的Venn图可以帮助我们更好的理解这些概念，更加直观的看到集合间的关系。

Venn图中用封闭的几何图形来表示集合，比如集合A包含于集合B，我们可以用下面的图来表示

非常直观，我们可以看到集合A中的任意一个点都可以在集合B中找到，根据定义，集合A就是集合B的子集，而且集合B中有的点集合A是没有的，再根据定义我们可以知道集合A不仅仅是集合B的子集，还是集合B的真子集。

2.4 子集的传递性

子集是具有传递性的，用数学语言来表达就是如果$A\subseteq B$，$B\subseteq C$，那么$A\subseteq C$，我们可以尝试自己绘制一下Venn图来想象一下其中的原理，这里就先不做详细介绍了。

2.5 一些总结

我们来尝试简单总结一下上面的结论

• 如果$A\subseteq B$，且$B\subseteq A$，那么$A=B$；
• 如果$A\subseteq B$，$B\subseteq C$，那么$A\subseteq C$；
• 空集是任何集合的子集；
• 任何集合都是它本身的子集；

让然还有一些其他的概念课本上没有提及，比如非空子集，非空真子集，也很好理解，非空子集指的是不是空集的子集，非空真子集指的是不是空集的真子集。

在后续的题目中我们可能会见到一些关于集合概念和集合间关系的各种考题，可能很绕，可能没见过，可是万变不离其宗，我们把最根本的概念拿捏住了就不用太担心。当然好记性不如烂笔头，如果说遇到一些涉及集合概念和集合间关系的错题，建议还是整理下来，防止下次再错。