数学基础知识总结 —— 6. 基本矩阵运算公式

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

常量与变量的运算公式非常简单，这里不做赘述。所以我们重点会放在矩阵、行列式，以及向量的运算公式上。

矩阵运算公式

矩阵运算主要分为加减乘，而没有除法。除法运算通常是计算除数矩阵的逆矩阵，然后再用乘法。而矩阵乘法，常用的主要有两种，点乘和叉乘。

通常矩阵（Matrix）之间要想进行某种数学运算，都多少有其维度的限制性要求。比如要求矩阵之间行列数相同，或者要求前矩阵的列数和后矩阵的行数相等。

矩阵加减法（两矩阵之间要求维度相同）

假设有如下矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{00}& a_{01}& \cdots & a_{0j}\\ a_{10}& a_{11}& \cdots & a_{1j}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i0}& a_{i1}& \cdots & a_{ij}\end{array}\right]$$

你会发现我这里用了一个跟传统教科书不太一样的下标表示。如果你写过程序，就能明白矩阵的元素遍历，和程序里常见的二维数组遍历的形式很像：

用C系语言描述，大概就是这一个样子的

for (int i = 0; i < X; i++) { 
    for (int j = 0; j < Y; j++) { 
    /// } } 

$i$ 通常被定义为矩阵的行， $j$ 通常被定义为矩阵的列。所以通常矩阵A和矩阵B进行加减法运算时，新矩阵的元素就是这样的：

$$A\pm B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{00}\pm b_{00},& a_{01}\pm b_{01},& \cdots & a_{0j}\pm b_{0j}\\ a_{10}\pm b_{10},& a_{11}\pm b_{11},& \cdots & a_{1j}\pm b_{1j}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i0}\pm b_{i0},& a_{i1}\pm b_{i1},& \cdots & a_{ij}\pm b_{ij}\end{array}\right]$$

运算法则

满足交换律
$$A\pm B=B\pm A$$

满足结合律
$$A\pm B\pm C=A\pm (B\pm C)=(A\pm B)\pm C$$

矩阵乘法——哈达玛积(Hadamard product)（两矩阵之间要求维度相同）

这个运算是比较常用的一种运算，通常当作掩码运算规则使用。

$$A\cdot B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{00}\cdot b_{00},& a_{01}\cdot b_{01},& \cdots & a_{0j}\cdot b_{0j}\\ a_{10}\cdot b_{10},& a_{11}\cdot b_{11},& \cdots & a_{1j}\cdot b_{1j}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i0}\cdot b_{i0},& a_{i1}\cdot b_{i1},& \cdots & a_{ij}\cdot b_{ij}\end{array}\right]$$

数学上常以点号表示这个计算，也偶尔可以在一些国外教科书上见到 $A\circ B$ 这一类的表示。不过要想国际都能理解的话，你可以用函数式的形式，即 $hadamard(A,B)$ 进行表示。

运算法则

满足交换律
$$A\cdot B=B\cdot A$$

满足结合律
$$A\cdot B\cdot C=A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$$

矩阵乘法——叉乘/向量外积（要求前列与后行元素数一致）

叉乘是高数或者线性代数课本上最常考的一类运算，通常用 $A\times B$ 的形式进行表示，函数式写作 $cross(A,B)$ 。它是否能够执行有一个要求，对于n行m列的矩阵 $A_{2\times 3}$，它只能跟行数与A的列数相等的 $B_{3\times n}$ 相乘。

例如：

$$A_{23}\times B_{32}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}\\ a_{10}& a_{11}& a_{12}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}{b}_{00}& b_{01}\\ b_{10}& b_{11}\\ b_{20}& b_{21}\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cc}{a}_{00}\cdot b_{00}+a_{01}\cdot b_{10}+a_{02}\cdot b_{20},& a_{00}\cdot b_{01}+a_{01}\cdot b_{11}+a_{02}\cdot b_{21}\\ a_{10}\cdot b_{00}+a_{11}\cdot b_{10}+a_{12}\cdot b_{20},& a_{10}\cdot b_{01}+a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}\end{array}\right]$$

运算法则

不满足交换律

$$A\times B\ne B\times A$$

满足结合律

$$A\times B\times C=A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$$

矩阵乘法——内积（两矩阵之间要求维度相同）

也是比较常用的一种运算。大多数的空间滤波函数的实现方式都依赖这个内积，函数式写作 $dot(A,B)$

假设：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}\\ a_{10}& a_{11}& a_{12}\end{array}\right]$$

$$B=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{00}& b_{01}& b_{02}\\ b_{10}& b_{11}& b_{12}\end{array}\right]$$

则 $AB=a_{00}\cdot b_{00}+a_{01}\cdot b_{01}+a_{02}\cdot b_{02}+a_{10}\cdot b_{10}+a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{12}$

运算法则

满足交换律
$$AB=BA$$

满足结合律
$$ABC=(AB)C=A(BC)$$

矩阵乘法——克罗内科积（Kronecker product）（维度没有要求）

这是唯一个对矩阵维度没有要求的积，可以认为是一种排列组合。

$$A\otimes B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 3& 2\cdot 0& 2\cdot 3\\ 1\cdot 2& 1\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 3\cdot 0& 3\cdot 3& 1\cdot 0& 1\cdot 3\\ 3\cdot 2& 3\cdot 1& 1\cdot 2& 1\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 6\\ 2& 1& 4& 2\\ 0& 9& 0& 3\\ 6& 3& 2& 1\end{array}\right]$$

运算法则

满足交换律
$$A\otimes B=B\otimes A$$

满足结合律
$$A\otimes B\otimes C=(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$$

矩阵与常数的运算

常数与矩阵的加法、减法、乘法，都可以认为是常数对矩阵的全部元素的运算。通常我们以空心字母表示矩阵比如 $\mathbb{M}$，以实心小写字母表示常数比如 $c$，它们的运算关系表示如下。因此，可以得到这样的一个模板：

$$\mathbb{M}\star c=\left[\begin{array}{cccc}{M}_{00}\star c,& M_{01}\star c,& \cdots ,& M_{0m}\star c\\ M_{10}\star c,& M_{11}\star c,& \cdots ,& M_{1m}\star c\\ ⋮& & & ⋮\\ M_{n0}\star c,& M_{n1}\star ,& \cdots & M_{nm}\star c\end{array}\right]$$

$\star$ 可以是 $+-\times ÷$。

运算法则

满足交换律，结合律