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一. 一阶微分方程
1.1 阶数的定义: 看最高次导或微
x y ′ ′ ′ + ( y ′ ) 3 + y 4 xy”’+(y’)^3+y^4 xy′′′+(y′)3+y4 \quad \quad 三阶
y ′ = 2 x y’=2x y′=2x \quad \quad \quad \quad \quad \quad 一阶
d y = 2 x d x dy=2xdx dy=2xdx \quad \quad \quad \quad 一阶
( y ′ ′ ) 5 + 2 y ′ = 3 (y”)^5+2y’=3 (y′′)5+2y′=3 \quad \quad \quad 二阶
\quad
1.2 通解与特解
例1: 已知一阶微分方程 y ′ = 2 x y’=2x y′=2x, 初始条件 y ( 1 ) = 2 y(1)=2 y(1)=2, 求通解与特解
通解: y = x 2 + C y=x^2+C y=x2+C
特解: y = x 2 + 1 y=x^2+1 y=x2+1
\quad
例2: 微分方程 y ′ = 3 x 2 y’=3x^2 y′=3x2在 y ∣ x = 1 = 3 y|_{x=1}=3 y∣x=1=3的特解 y = y= y=________
y = x 3 + C y=x^3+C y=x3+C 代入x=1
y = x 3 + 2 y=x^3+2 y=x3+2
\quad
1.3 公式法
\quad
例3: 求常微分方程 y ′ + 2 x y = 2 x e − x 2 y’+2xy=2xe^{-x^2} y′+2xy=2xe−x2 的通解
P ( x ) = 2 x , Q ( x ) = 2 x e − x 2 P(x)=2x, Q(x)=2xe^{-x^2} P(x)=2x,Q(x)=2xe−x2
代入公式得
y = [ ∫ 2 x e − x 2 ∗ e ∫ 2 x d x d x + C ] ∗ e − ∫ 2 x d x y=[\int 2xe^{-x^2}*e^{\int 2xdx}dx+C]*e^{-\int 2xdx} y=[∫2xe−x2∗e∫2xdxdx+C]∗e−∫2xdx
= [ ∫ 2 x e − x 2 ∗ e x 2 d x + C ] ∗ e − x 2 =[\int 2xe^{-x^2}*e^{x^2}dx+C]*e^{-x^2} =[∫2xe−x2∗ex2dx+C]∗e−x2
= [ ∫ 2 x d x + C ] ∗ e − x 2 =[\int 2xdx+C]*e^{-x^2} =[∫2xdx+C]∗e−x2
= ( x 2 + C ) ∗ e − x 2 =(x^2+C)*e^{-x^2} =(x2+C)∗e−x2
\quad
例4: 求常微分方程 y ′ − y x = x e x y’-\frac{y}{x}=xe^x y′−xy=xex的通解
y ′ + ( − 1 x ) y = x e x y’+(-\frac{1}{x})y=xe^x y′+(−x1)y=xex
\quad
例5: 求常微分方程 y d x + ( x + 1 ) d y = 0 ydx+(x+1)dy=0 ydx+(x+1)dy=0的通解
y + ( x + 1 ) d y d x = 0 y+(x+1)\frac{dy}{dx}=0 y+(x+1)dxdy=0
y + ( x + 1 ) y ′ = 0 y+(x+1)y’=0 y+(x+1)y′=0
y ′ + ( 1 x + 1 ) y = 0 y’+(\frac{1}{x+1})y=0 y′+(x+11)y=0
P ( x ) = 1 x + 1 , Q ( x ) = 0 P(x)=\frac{1}{x+1}, Q(x)=0 P(x)=x+11,Q(x)=0
y = [ ∫ 0 ∗ e ∫ 1 x + 1 d x d x + C ] e − ∫ 1 x + 1 d x y=[\int 0*e^{\int \frac{1}{x+1}dx}dx+C]e^{-\int \frac{1}{x+1}dx} y=[∫0∗e∫x+11dxdx+C]e−∫x+11dx
y = [ ∫ 0 d x + C ] e − ln ( x + 1 ) y=[\int 0dx+C]e^{-\ln(x+1)} y=[∫0dx+C]e−ln(x+1)
= C ∗ 1 x + 1 =C*\frac{1}{x+1} =C∗x+11
= C x + 1 =\frac{C}{x+1} =x+1C
\quad
例6: 求常微分方程 y ′ − y = 2 x e x y’-y=2xe^x y′−y=2xex满足 y ∣ x = 0 = 2 y|_{x=0}=2 y∣x=0=2的特解
P ( x ) = − 1 , Q ( x ) = 2 x e x P(x)=-1, Q(x)=2xe^x P(x)=−1,Q(x)=2xex
y = [ ∫ 2 x e x ∗ e ∫ − 1 d x d x + C ] e − ∫ − 1 d x y=[\int 2xe^x*e^{\int -1dx}dx+C]e^{-\int -1dx} y=[∫2xex∗e∫−1dxdx+C]e−∫−1dx
= [ ∫ 2 x e x ∗ e − x d x + C ] e x =[\int 2xe^x*e^{-x}dx+C]e^x =[∫2xex∗e−xdx+C]ex
= [ ∫ 2 x d x + C ] e x =[\int 2xdx+C]e^x =[∫2xdx+C]ex
= [ x 2 + C ] e x =[x^2+C]e^x =[x2+C]ex
y = ( x 2 + 2 ) e x y=(x^2+2)e^x y=(x2+2)ex
\quad
\quad
二. 二阶常系数齐次线性微分方程
求 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y”+py’+qy=0 y′′+py′+qy=0的通解步骤:
(1) 写出微分方程的特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0
(2) 求出特征方程的两个根 r 1 , r 2 r1,r2 r1,r2
(3) 根据特征方程的不同情况, 写出微分方程的通解
| 特征根 | 通解 |
|---|---|
| r 1 ≠ r 2 r_1 ≠r_2 r1=r2 | y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r2x} y=C1er1x+C2er2x |
| r 1 = r 2 r_1=r_2 r1=r2 | y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_1+C_2x)e^{r1x} y=(C1+C2x)er1x |
\quad
例7: 二阶常系数齐次线性微分方程 y ′ ′ + y ′ − 2 y = 0 y”+y’-2y=0 y′′+y′−2y=0的通解是______
r 2 + r − 2 = 0 r^2+r-2=0 r2+r−2=0 解得 x 1 = − 2 , x 2 = 1 x_1=-2, x_2=1 x1=−2,x2=1
代入公式得
y = C 1 e − 2 x + C 2 e x y=C_1e^{-2x}+C_2e^{x} y=C1e−2x+C2ex
\quad
例8: 二阶常系数齐次线性微分方程 y ′ ′ + y ′ − 6 y = 0 y”+y’-6y=0 y′′+y′−6y=0的通解是______
r 2 + r − 6 = 0 r^2+r-6=0 r2+r−6=0 解得 x 1 = − 3 , x 2 = 2 x_1=-3, x_2=2 x1=−3,x2=2
代入公式得
y = C 1 e − 3 x + C 2 e 2 x y=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x} y=C1e−3x+C2e2x
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