特征值与特征向量、特征矩阵

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

1.直接看例题

疑问1：通解的求法？看第二部分。



未完待续……

2. 基础解系

3. 概念

3.1 特征值、特征向量

A是复数域的方阵、lambda是一个复数、x是一个n*1的非零矢量

3.1.1 特征值（深入浅出）

下面是一个简单易懂的关于矩阵特征值的解释。
什么是矩阵？
首先，矩阵是一个用来存储数据的数学工具，通常以一个矩形的形式展示，包含一些数字。例如：

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

在这个例子中，矩阵 $A$ 有两行和两列。

什么是特征值？

特征值是与矩阵相关的一个重要概念。简单来说，特征值是指当你对一个矩阵进行某种变换时，某些特定的向量（我们称之为特征向量）不会改变方向，只会改变长度。特征值就是这个长度的缩放因子。

形象的理解

想象一下，一个矩阵就像一个变换器，可以把一个向量（箭头）变成另一个向量。特征值和特征向量的关系可以用以下步骤来理解：

1. 输入一个向量：假设你有一个向量 $v$（可以想象成一支箭头）。
2. 矩阵变换：当你把这个向量输入到矩阵 $A$ 中时，矩阵会对这个向量进行变换，产生一个新的向量 $Av$。
3. 特征向量：如果这个新向量 $Av$ 只是改变了长度（被放大或缩小），但方向没有变化，那么这个向量 $v$ 就是一个特征向量。
4. 特征值：这个放大或缩小的倍数，就是特征值。

数学表达

在数学上，我们用以下公式表示特征值和特征向量的关系：

$$Av=\lambda v$$

其中：

• $A$ 是矩阵。
• $v$ 是特征向量。
• $\lambda$ 是特征值。

这条公式的意思是，当你用矩阵 $A$ 变换特征向量 $v$ 时，结果是特征向量 $v$ 乘以一个数（特征值 $\lambda$）。

例子

假设有一个简单的矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

如果选择特征向量 $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，那么：

$$Av=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$$

在这个例子中，特征向量 $v$ 的方向没有改变，但它的长度从1变成2，所以特征值 $\lambda =2$。

总结

• 矩阵：是一个用来存储数据的工具，可以用来表示变换。
• 特征值：是描述矩阵变换时向量长度变化的数字。
• 特征向量：是那些在变换中方向不变的向量。

3.2特征矩阵、特征多项式、特征方程

求法：先求特征值——>然后求每一个特征值对应的基础解系——>最后获得全部特征向量表示

4.几何意义

• 定义

假设我们有一个 n 阶的矩阵 A 以及一个实数，使得我们可以找到一个非零向量 x，满足：
$$Ax=\lambda x$$

如果能够找到的话，我们就称 $\lambda$ 是矩阵 A 的特征值，非零向量 x 是矩阵 A 的特征向量。

光从上面的式子其实我们很难看出来什么，但是我们可以结合矩阵变换的几何意义，就会明朗很多。

• 几何意义

我们都知道，对于一个 n 维的向量 x 来说，如果我们给他乘上一个 n 阶的方阵 A，得到 Ax。从几何角度来说，是对向量 x 进行了一个线性变换。变换之后得到的向量 y 和原向量 x 相比，方向和长度都发生了改变。

但是，对于一个特定的矩阵 A 来说，总存在一些特定方向的向量 x，使得 Ax 和 x 的方向没有发生变化，只是长度发生了变化。我们令这个长度发生的变化当做是系数 $\lambda$ ，那么对于这样的向量就称为是矩阵A的特征向量， $\lambda$ 就是这个特征向量对应的特殊值。

参考资料

[1] 线性代数精华——矩阵的特征值与特征向量 2020.2