概率加法公式

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概率加法公式

一、两个事件的概率加法公式

设A、B为任意两个事件，则A和B的事件概率可通过以下公式计算：
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\dots \dots (1)$$

两个事件概率加法公式的证明：

证明思路：

• 根据有限可加性的前提是两个求和的事件互不相容，将A、B两个事件拆分成两个互不相容的事件吗，然后利用有限可加性即可—– 拆分法

证明：

$\because A\cup B=A\cup B\bar{A}$，其中$A\cap (B\bar{A})=\varnothing$

$\therefore P(A\cup B)=P(A\cup B\bar{A})=P(A)+P(B\bar{A})$

又$\because B=BA\cup B\bar{A}$,其中$(BA)\cap (B\bar{A})=\varnothing$

$\therefore P(B)=P(AB)+P(B\bar{A})\Rightarrow P(B\bar{A})=P(B)-P(AB)$

二、三个事件的概率加法公式

设A、B、C为任意三个事件、则A、B、C的事件概率可作如下推导：
$$P(A\cup B\cup C)=P[(A\cup B\cup C)]\dots \dots (2)$$
令$A\cup B=T$,则式(2)可以改写成如下形式：
$$P(A\cup B\cup C)=P(T\cup C)\dots \dots (3)$$
利用公式(1)得：
$$\begin{gathered} P(A\cup B\cup C)=P(T\cup C)=P(T)+P(C)-P(TC) \\ =P(A\cup B)+P(C)-P(TC)\dots \dots (4) \\ =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(TC) \end{gathered}$$
又$\because P(TC)=P[(A\cup B)C]=P(AC\cup BC)$

使用公式(1)得：
$$\begin{gathered} P(AC\cup BC)=P(AC)+P(BC)-P(ACBC) \\ =P(AC)+P(BC)-P(ABC)\dots \dots (5) \end{gathered}$$
结合等式(2)(3)(4)(5)即得三个事件得概率加法计算公式：
$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(c)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)$$
三个事件概率加法公式的证明，方法同两概率加法公式。