凸函数的定义、性质以及判别

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凸函数有很好的极值性质，这使其在非线性规划中占有重要的地位。凹函数与凸函数相似，凸函数具有全局极小值，凹函数具有全局极大值。 因为两者很方便进行转换，我们以凸函数为例作介绍。

1. 凸函数的定义

要定义凸函数，首先必须要对凸集有所了解。

凸集：
给定集合以及其中的任意两个元素 $x^{(1)}$和$x^{(2)}$，即 $x^{(1)}\in S$且 $x^{(2)}\in S$，若对任意实数$\lambda (0<\lambda <1)$，恒有$\lambda x^{(1)}+(1-\lambda )x^{(2)}\in S$，则称$S$为凸集。

凸函数:
设 $f(x)$为定义在n维欧氏空间$R^n$ 中某个凸集$S$ 上的函数，若对任意实数$\lambda (0<\lambda <1)$以及 $S$中的任意两点$x^{(1)}$和$x^{(2)}$，恒有
$f(\lambda x^{(1)}+(1-\lambda )x^{(2)})\le \lambda f(x^{(1)})+(1-\lambda )f(x^{(2)})$

则$f(x)$称为定义在凸集$S$上的凸函数。

若对任意实数$\lambda (0<\lambda <1)$以及 $S$中的任意两点$x^{(1)}$和$x^{(2)}$，恒有
$f(\lambda x^{(1)}+(1-\lambda )x^{(2)})<\lambda f(x^{(1)})+(1-\lambda )f(x^{(2)})$
则称$f(x)$为定义在凸集$S$上的严格凸函数。

线性函数既是凸函数又是凹函数，但都不是严格凸函数和严格凹函数。

2. 凸函数的性质

性质1: 设$f(x)$为定义在凸集$S$上的凸函数，则对任意实数$\beta >0$ ，函数 $\beta f(x)$也是定义在凸集$S$上的凸函数。

性质2: 设$f_1(x)$ 和$f_2(x)$ 都是定义在凸集$S$上的凸函数，则函数$f_1(x)+f_2(x)$也是定义在凸集$S$上的凸函数。

性质3: 设$f(x)$为定义在凸集$S$上的凸函数，则对任意实数$\beta$，集合 S β = { x ∣ x ∈ S , f ( x ) ≤ β } S_{\beta}=\{x|x \in S,f(x) \leq \beta \} Sβ​={
x∣x∈S,f(x)≤β}是凸集。

性质4: 设$f(x)$为定义在凸集$S$上的凸函数，则$f(x)$的任一个极小点就是它在$S$上的全局极小点，而且所有极小点的集合是凸集。

3. 凸函数的判别

判断一个函数是否为凸函数，最基本的方法是使用其定义。但对可微函数，下面介绍的两个判定定理可能更为有效。

一阶判定条件: 设$f(x)$在凸集$S$上具有一阶连续偏导数，则$f(x)$为$S$上凸函数的充分必要条件是，对$S$中任意两点 $x^{(1)}$和$x^{(2)}$，恒有
$f(x^{(2)})\ge f(x^{(1)})+\nabla f(x^{(1)}{)}^T(x^{(2)}-x^{(1)})$

二阶判定条件: 设$f(x)$在开凸集$S$上具有二阶连续偏导数，则$f(x)$为$S$上凸函数的充分必要条件是，$f(x)$的海赛矩阵${\nabla }^{2}f(x)$在$S$上处处半正定。