考公：十字相乘法的理解

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引言：公务员考试中有一类常见的十字相乘题目，以各种形式出现，例如算浓度、男女比例等，记公式很简单，但是题目灵活多变，只有理解了才能更好的运用。本文将力求简洁细致的讲明十字相乘法的原理，帮助各位理解，本人水平有限，若有地方有误或讲解不清的地方，可以在评论区交流讨论。

基础部分：十字相乘法介绍

用个简单的例题来说明十字相乘法：

本题给出3个已知条件，甲乙两个班平均成绩80分，甲班72分，乙班86分，求人数比。

方程法：设甲x人，乙y人。

72x + 86y = (x + y) * 80

之后求出 x/y 即可得出答案

十字相乘法则是在此方程的基础之上，用合并同类项的方法快速解题。

方程将括号拆开，等式两边合并同类项，再换位后：

x / y = ( 80 – 86 ) / (72 – 80 ) = 3 / 4

也就是当我们看到题目后，可直接列下式：

此为十字相乘法的大致解题方法。

例题：

如题，2006年学生毕业总数增长2％，本科生减少2%，研究生增长10%，问今年毕业本科生。

可写为

最终结果为2/1，提问：此时所求得的2/1的比例关系是什么？

让我们用方程法做一下，设去年本科生数量为x，研究生数量为y，则方程可列为：

-2%x + 10%y = (x + y) 2%   

意为本科生减少的百分之2和研究生增加的百分之10共同造就了总量增长了百分之2。

变形一下可得：

x / y = (2% – 10%) /  (-2%-2%) 

怎么样，熟悉吗？

因此上面所求得的2/1的比例关系，正是去年本科生与研究生之比。

那么如何不列方程也能看出比例关系表达的含义呢？

以此题为例，题中所给的三个百分数的增长量，都是围绕一个共同话题在说，就是去年的毕业人数，xx比上年度增加/减少xx，因此共同围绕的便是数字表达含义，后面我会再去讲解。

我们将此题解完：

这时通过总增长2%，反推出去年总人数为7500，再根据比例关系可知本科生有5000人。

这5000人为去年的人数，今年减少了百分之2，因此今年为5000*0.98=4900人。

例题：

该题分别给出音乐系和美术系男女生之比，和音乐系美术系整体的男女生之比，问音乐系和美术系人数之比。

看到一个总体的平均水平和两个分别的水平，因此直接套用十字相乘法：

求得结果为 2 / 1，那么这个结果表示什么含义？

根据上一题的方法，可以看到我们所使用的三个数字的含义分别为：学院男生人数占总人数的xx%，音乐系男生人数占总人数的xx%，美术系男生人数占总人数的xx%

也就是围绕总人数进行的比例计算，如若列出方程，则是：

音乐总人数 * 音乐男比例 + 美术总人数 * 美术男比例 = ( 音乐总人数 + 美术总人数) * 总体男比例

因此最后的比例结果自然是 音乐总人数 / 美术总人数。

总结上述三道题，可得出一个结论：谁作为分母，所求的结果就是谁的比例。

例如音乐系美术系这道例题，音乐系男生比例为1/4，美术系男生比例为2/5，它们的分母分别是4和5，意指音乐系学生总数和美术系学生总数。

又如第一题，通过平均分计算人数比例。平均分其实有隐藏的分母，平均分为总分 / 人数，因此实际上公式中所用到的三个平均分，其分母都为人数。

第二个例题也是同样思路，毕业生增长了百分之多少，增长率的分母就指上一年的人数。

因此结论为：所用的比例中分母是谁，所求的结果就是谁的比例。（注意此处“比例”并非十字相乘最后的结果比例，不要混淆。）

从方程的角度来理解：

例如音乐系美术系这道题，音乐系总人数 × 音乐系男生占比 ＝ 男生人数

男生占比的分母 就等同于 音乐系总人数 ， 相乘后二者消除。

如果还是觉得难以理解，多做几道题，列出方程后进行变形，写出十字相乘法的样子。

还是这道题，把问题加一个小变形：问音乐系和美术系的女生人数之比是多少？ 

根据刚才的思路，所用比例的分母是谁，结果就是谁的比例。

此时要求女生人数之比，所以所用比例的分母必须是女生。

结果为5/2

方程法：设音乐女为x，美术女为y，方程两边可以是总人数相等，也可以是男生人数相等。

若为男生人数相等

1/3 x + 2/3 y = 3/7 (x + y)

变形后与十字相乘方法一致。

结语：十字相乘法解题较快，但如想灵活应用，需多做题和理解，加以熟练掌握。凡是涉及两个集体之间比例关系的数量问题，均可想一下是否可以使用十字相乘法。如果还不太熟练，可以先列方程加以理解。