统计学第一次打卡

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

一、样本和总体

1、样本和总体的含义

总体：研究对象的整个群体

样本：从总体中随机的选取一部分

实例：研究美国男性公民的平均身高，所有的美国男性公民的平均身高为总体，随机抽取不同（不同地域，不同年龄，不同职业。。。。）的男性公民作为样本。

2、样本和总体的关系——参数估计

二、样本均值和总体均值的

1、均值的含义

2、样本均值和总体均值

均值：均值也叫做平均数，主要是指简单算术平均数，即数据之和除以数据的个数。

样本均值：即样本的平均数，通常用$\overline{X}$表示

总体均值：即总体的平均数，通常用$\mu$表示

3、公式

设$X_1,X_2...X_n$为样本，$n$表示样本容量，即每个样本包含多少个数据，在实例中即为随机抽取样本中美国男性公民的人数
$X_1,X_2...X_N$为总体，$N$表示总体所有研究对象的个数，在实例中即为所有美国男性公民的人数，

则 ，

样本均值：$\overline{X}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{n}$

总体均值：$\mu =\frac{{\sum }_{i=1}^N{X}_i}{N}$

三、样本方差和总体方差

1、方差的含义

2、样本方差和总体方差

3、公式

4、样本方差估计总体方差

5、方差的简化公式

6、标准差

三、随机变量

1、随机变量的含义

随机变量是一种函数映射，是将随机过程映射到实际数字

2、随机变量的分类

四、概率密度函数

1、离散型概率密度函数

$p_i=P(X=a_i),i为有限整数$

2、连续型概率密度函数

$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(t)dt$

五、二项分布

1、定义

假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x。

2、概率密度函数

$P(x)=C_n^x{p}^x(1-p{)}^{(n-x)}$

3、期望和均值

$E(x)=np$
$Var(x)=np(1-p)$

六、泊松分布

1、定义

如果某事件以固定强度λ，随机且独立地出现，该事件在单位时间内出现的次数（个数）可以看成是服从泊松分布。

这个固定强度λ其实就是泊松分布的期望和方差

2、概率密度函数

$P(x=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2...$

3、期望和均值

$E(x)=\lambda$
$Var(x)=\lambda$

七、正态分布

1、定义

正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。

2、概率密度函数

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}.$

3、期望和均值

$E(x)=\mu$
$Var(x)={\sigma }^2$

八、大数定律

在统计活动中，人们发现，在相同条件下大量重复进行一种随机实验时，一件事情发生的次数与实验次数的比值，即该事件发生的频率值会趋近于某一数值。重复次数多了，这个结论越来越明显。这个就是最早的大数定律。一般大数定律讨论的是n个随机变量平均值的稳定性。
一句话解释：大数定律讲的是样本均值收敛到总体均值