【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）（上）

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【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）

注记: 三角形内切圆半径记为 $r$, 外接圆半径记为 $R$, 顶点 $A$ 点所对的旁切圆半径记为 $r_A$, 以此类推.

性质1-1. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 设直线 $EF$ 与 直线 $BC$ 于 $T$, 则 $D$, $T$ 调和分割 $BC$, $AD$ 交圆 $I$ 于 $P$, $TP$ 与圆 $I$ 相切.

配图

证明: 对于 $△ABC$ 和截线 $EFT$, 由梅涅劳斯定理, $CE/EA\cdot AF/BF\cdot BT/CT=1$, $AE=AF$, 因此 $BT/CT=BF/CE$, $BF=BD$, $CD=CE$, 所以 $BT/CT=BD/CD$, 显然 $T$ 在 $A$ 的极线上, $A$ 在 $T$ 的极线上. $D$ 显然也在 $T$ 的极线上, 因此 $T$ 的极线是 $AD$, $P$ 是 $T$ 的极线与圆 $I$ 的交点, 因此 $TP$ 与圆 $I$ 相切.

性质1-2. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 连结 $AD$ 交 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 于 $P$, 过点 $P$ 作内切圆的切线交 $BC$ 于 $T$, 过 $T$ 作一条割线交圆 $I$ 于 $M$, $N$ 两点, 则 $BM$, $CN$, $AD$ 三线共点. 直线 $BM$ 交内切圆 $I$ 于 $M^{\prime }$, 直线 $CN$ 交圆 $I$ 于 $N^{\prime }$, 则 $M^{\prime }$, $N^{\prime }$, $T$ 三点共线.

配图

证明: 证明 $N$, $N^{\prime }$, $C$ 三点共线.

作直线 $EF$, 由性质1可知 $EF$ 也经过点 $T$. 作直线 $T{M}^{\prime }$ 交内切圆 $I$于 $N_1$. 连结 $D{N}_1$, $N_{1}E$, $EN$, $ND$, 下面证明四边形 $D{N}_{1}EN$ 为调和四边形. 连结 $D{M}^{\prime }$, $M^{\prime }F$, $FM$, $MD$, 显然四边形 $D{M}^{\prime }FM$ 是调和四边形. $△T{N}_{1}D\sim △TD{M}^{\prime }$, $D{N}_1/D{M}^{\prime }=DT/T{M}^{\prime }$; $△T{N}_{1}E\sim △TF{M}^{\prime }$, $N_{1}E/M^{\prime }F=ET/T{M}^{\prime }$; $△TDM\sim △TND$, $DN/DM=DT/TM$; $△TNE\sim △TFM$, $NE/MF=TE/TM$; $D{N}_1/N_{1}E=D{M}^{\prime }/M^{\prime }F\cdot (DT/ET)$, $DN/NE=DM/MF\cdot (DT/ET)$, 因此 $D{N}^{\prime }/N^{\prime }E=DN/NE$, 命题得证, 因此 $N$, $N_1$, $C$ 三点共线. $MN{M}^{\prime }{N}_1$ 是圆内接四边形, 由圆内接四边形的性质可知 $M{M}^{\prime }$, $N{N}_1$ 的交点在 $T$ 的极线上, 由性质1可知 $AD$ 是 $T$ 的极线, 因此 $BM$, $CN$, $AD$ 三线共点.

性质2. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 连结 $AD$ 交内切圆 $I$ 于 $P$, 连结 $PE$, $PF$, $DE$, $DF$, 则 $PF/PE=DF/DE$ (四边形 $DEPF$ 为调和四边形).

配图

证明: $△APF\sim △AFD\to PF/DF=AF/AD$, 同理, $PE/ED=AE/AD$, $AF=AE$, 因此 $PF/FD=PE/ED$.

性质3-1. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 连结 $AD$, 交圆 $I$ 于 $P$, 交 $EF$ 于 $Q$, 则 $A$, $Q$ 调和分割 $D$, $P$.

配图

证明: $AP\cdot AD=A{E}^2$, $AP/AD=A{E}^2/A{D}^2$, $PQ/DQ=(PE\cdot \sin \angle PEF)/(DE\cdot \sin \angle DEF)$, $\sin \angle PEF/\sin \angle DEF=\sin \angle PDF/\sin \angle DPF=PF/DF=AF/AD$, $PE/DE=AE/AD$, 所以 $PQ/DQ=AF\cdot AE/A{D}^2=A{E}^2/A{D}^2$.

性质3-2. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 过 $I$ 作 $BC$ 的垂线 $l$, 设 $l$ 交内切圆于 $D^{\prime }$, 交 $EF$ 于 $S$, 过 $A$ 作 $l$ 的垂线垂足为 $A^{\prime }$, 则 $A^{\prime }$, $S$ 调和分割 $D$, $D^{\prime }$.

配图

证明: 连结 $AD$, 显然 $I$ 在 $l$ 上. 考虑 $S$ 的极线, $S$ 的极线显然与 $SI$ 垂直, 即与直线 $l$ 垂直. 显然 $EF$ 为 $A$ 的极线, 因此 $A$ 在 $S$ 的极线上, $S$ 的极线就是直线 $A{A}^{\prime }$.

性质4-1. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 连结 $AD$, 交内切圆 $I$ 于 $P$, 连结 $PB$, $PC$, 分别交内切圆 $I$ 于 $G$, $H$, 则 $GC$, $HB$, $AD$ 三线共点; 四边形 $PGDH$ 为调和四边形; $GE$, $HF$, $AD$ 三线共点.

配图

证明: 根据赛瓦定理第一角元形式逆定理, $GC$, $HB$, $AD$ 三线共点 $⟺PF/FG\cdot (DG/DH)\cdot (EH/PH)=1$, 四边形 $PFDG$, $PEHD$ 为调和四边形, $PF/FG=PD/GD$, $EH/PH=HD/PD$. 由此可得到此结论.

由相似 $PG=DE\cdot PK/EK$, $PH=PK/FK\cdot DF$, $GD=GK/PK\cdot PE$, $HD=HK/PK\cdot PF$, $PG/PH=DE/DF\cdot (FK/EK)$, $DG/DH=(PE/PF)\cdot (GK/HK)$, 四边形 $PFDE$ 为调和四边形, 所以 $DE/DF=PE/PF$. 由相似关系可知, $FK/EK=GK/HK$, 进而 $PG/PH=DG/DH$, 四边形 $PGDH$ 为调和四边形.

根据赛瓦定理的逆定理, $GE$, $HF$, $AD$ 三线共点 $⟺PG/BG\cdot BC/CD\cdot CH/PH=1$, 即 $PH/PG\cdot (BG/BD)\cdot (CD/CH)=1$. $BG/BD=BD/BP=BD/(PD/GD\cdot BD)=GD/PD$, $CD/CH=PC/CD=PD/DH$, 即 $PH/PG\cdot (GD/DH)=1$, 四边形 $PGDH$ 为调和四边形, 因此 $PH/PG\cdot (GD/DH)=1$.

性质4-2. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 连结 $AD$, 交内切圆 $I$ 于 $P$, 连结 $PB$, $PC$, 分别交内切圆 $I$ 于 $G$, $H$, 连结 $AG$, $AH$ 分别交内切圆 $I$ 于 $N$, $M$, 则 $MF$, $NE$, $AD$ 三线共点; $BM$, $CN$, $AD$ 三线共点, $GM$, $HN$, $EF$, $AD$ 四线共点.

配图

证明: $GM$, $HN$, $EF$, $AD$ 四线共点:

四边形 $NFGE$, $MEHF$ 为调和四边形, 进而 $NF/GF=NE/GE=AE/AG$, $ME/HE=MF/HF=AF/AH$,
$$\begin{array}{rl}NF/FG\cdot (GH/MN)\cdot (EM/EH)& =(AE/AG)\cdot (AH/AN)\cdot (AF/AH)\\ & =(A{E}^2/AH\cdot AG)(AH/AN)\\ & =A{E}^2/(AG\cdot AN)=1\end{array}$$
由赛瓦定理第一角元形式逆定理可知 $NH$, $MG$, $EF$ 三点共线.

考虑内切圆的内接四边形 $NGHM$, 设 $NH$, $MG$, $EF$ 的交点为 $K$, 设 $EF$ 交 $BC$ 于 $T$. 下面证明直线 $GH$ 也交于 $BC$ 于 $T$. $GC$, $HB$, $AD$ 三线共点, 由性质1, $BD/CD=BT/CT$. 由赛瓦定理, $BD/CD=BG/PG\cdot (AH/HC)$, 进而可知 $BG/PG\cdot (PH/CH)\cdot (BT/CT)=1$, 由梅涅劳斯定理逆定理, $G,H,T$ 三点共线. 由圆内接四边形性质, $MN$, $GH$, $EF$ 三线共点, 因此 $MN$, $GH$, $EF$ 三线共点于 $T$, 且 $T$ 的极线 $AD$ 过点 $K$ 和 $A$, 证毕.

$MF$, $NE$, $AD$ 三线共点:
$$PN/PM=[GD\cdot (AP/AG)]/[HD\cdot (AP/AH)]=GD/HD\cdot (AH/AG)$$

$$ME/FN=[EH\cdot (AM/AE)]/[FG\cdot (AN/AF)]=EH/FG\cdot (AM/AN)$$

$$\begin{gathered} PN/PM\cdot (ME/FN)\cdot (DF/DE) \\ =GD/HD\cdot (EH/FG)\cdot (DF/DE)\cdot (AH/AG)\cdot (AM/AN) \end{gathered}$$

$△ANM\sim △AHG\to (AH/AG)\cdot (AM/AN)=1$, 由 $NH$, $MG$, $EF$ 三线共点, $GD/HD\cdot (EH/FG)\cdot (DF/DE)=1$, $PN/PM\cdot (ME/FN)\cdot (DF/DE)=1$. 由赛瓦定理第一角元形式逆定理可知 $MF$, $NE$, $AD$ 三点共线.

$BM$, $CN$, $AD$ 三线共点证明:

结合性质1-2, 过 $BM$, $CN$ 和内切圆的两个交点所作的直线过 $T$, 再结合圆内接四边形性质可得此结论.

性质5. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 作射线 $AI$ 交内切圆于 $P$, $Q$, 则 $P$, $Q$ 分别为 $△AEF$ 的内心和旁心.

配图

证明: 不失一般性, 设 $c\ge b$. $P$ 到 $AF$ 的距离为 $r_1$, 根据相似可知:
$$r/r_1=AI/AP=\frac{r/\cos (A/2)}{r/\cos (A/2)-r}$$
$r_1=r[1-\cos (A/2)]=PT$, 即 $r_1=PT$, 因此 $P$ 是 $△AEF$ 内心. $Q$ 到 $AF$ 的距离为 $r_2$, 根据相似可知:
$$r/r_2=AI/AQ=\frac{r/\cos (A/2)}{r/\cos (A/2)+r}$$
$r_2=r[1+\cos (A/2)]=QT$, 即 $r_2=QT$, 因此 $Q$ 是 $△AEF$ 旁心.

性质6. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 过 $B$, $C$ 分别向 $CI$, $BI$ 作垂线, 垂足分别为 $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, 则 $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ 在 $EF$ 上.

配图

证明: 易证 $B$, $B^{\prime }$, $F$, $I$, $D$ 共圆, $\angle IFE=A/2$, 因此 $B^{\prime }$, $F$, $E$ 共线.

配图

推论. 过点 $P$ 向 $\angle BAC$, $\angle ACB$ 的角平分线作垂线, 垂足为 $B_1$, $B_2$, 连结 $B_1{B}_2$, 则 $B_1{B}_2//AC$ 且平分 $AB$, $CB$.

配图

证明: 易证 $B$, $B_2$, $F$, $I$, $D$, $B_1$在以 $IO$ 为直径的圆上, $B_2$ 在直线 $EF$ 上, $B_1$ 在直线 $ED$ 上, 连结 $DF$, $\angle F{B}_2{B}_1=\angle FDE$, $\angle FDE=\angle AEF$, 因此 $B_1{B}_2//AC$. 延长 $B{B}_2$ 交直线 $CA$ 于 $P$, $\angle BC{B}_2=\angle TC{B}_2$, 且 $C{B}_2\perp BP$, 因此 $B{B}_2=P{B}_2$, 又有 $B_1{B}_2//AC$, 因此 $B_1{B}_2$ 通过 $AB$ 的中点.

性质7-1. 设 $△ABC$ 的内切圆为 $I$. 设 $M$ 为 $BC$ 的中点, $AH\perp BC$ 于点 $H$, 直线 $MI$ 交 $AH$ 于 $Q$, 则 $AQ=r$.

配图

证明: 不失一般性, 设 $c\ge b$. 在 $AH$ 上取点 $Q^{\prime }$, 使得 $A{Q}^{\prime }=r$, 下面证明 $Q^{\prime }$ 即 $Q$. $Q$ 和 $Q^{\prime }$ 重合的充要条件是: $ID/Q^{\prime }H=MD/MH$, 下面验证其成立. $ID=r=S/p$, $Q^{\prime }H=h-r=2S/a-S/p$, $ID/Q^{\prime }H=r/(h-r)=a/(b+c)$, $MD=a/2-(p-c)=a/2-(a+b-c)/2=(c-b)/2$, $MH=a/2-CH=a/2-h/\tan C$, $MD/MH=(c-b)/(a-2h/\tan C)$, 即验证: $a/(b+c)=(c-b)/(a-2h/\tan C)$.
$$\begin{array}{rl}{c}^2-b^2& =a^2-2ah/\tan C\\ & =a^2-4S/\tan C\\ & =a^2-2ab\sin C/\tan C\\ & =a^2-2ab\cos C\end{array}$$
由正弦定理可知其显然成立.

配图

性质7-2. 设 $△ABC$ 的内切圆为 $I$. 点 $M$ 为 $BC$ 的中点, $AH\perp BC$ 于点 $H$, 内切圆 $I$ 切 $BC$ 于 $D$, 设 $BC$ 的中点为 $M$, $D$ 关于 $M$ 的对称点为 $D^{\prime }$ ($A$ 所对旁切圆切 $BC$ 的切点), $AH$ 的中点为 $G$, 则 $D^{\prime }$, $I$, $G$ 三点共线.

配图

证明: 不失一般性, 设 $c\ge b$. 连结 $ID$, 命题成立的充要条件是 $GH/D^{\prime }H=ID/D{D}^{\prime }$.
$$\begin{array}{rl}{D}^{\prime }H& =BC-B{D}^{\prime }-CH\\ & =a-(p-c)-b\cos C\\ & =(p-b)-b(a^2+b^2+c^2)/(2ab)\\ & =(c-b)p/a\end{array}$$
$GH=S/a$, $ID=r$, $D{D}^{\prime }=2MD=2(MC-CD)=c-b$, $GH/D^{\prime }H=S/[(c-b)p]$, $ID/D{D}^{\prime }=r/(c-b)$, 代入 $S=pr$, 可得 $GH/D^{\prime }H=ID/D{D}^{\prime }$, 证毕. ($S$ 为 $△ABC$ 面积, $r$ 为内切圆半径).

2023/11/25

性质7-3. 性质7-1对于旁心亦成立.

配图

证明: 不失一般性, 设 $c\ge b$. 在高线上取 $Q^{\prime }$, 使得 $A{Q}^{\prime }=r_B$, 下面证明 $Q^{\prime }$ 即 $Q$. $Q$ 和 $Q^{\prime }$ 重合的充要条件是: $MH/(p-a/2)=(h-r_B)/r_B$. $MH=a/2-b\cos C=(c^2-b^2)/(2a)$, $h=2S/a$, $r_B=2S/(a+c-b)$, 代入得: $MH/(p-a/2)=(c-b)/a$, $h/r_B-1=(c-b)/a$, 显然成立.

性质7-4. 性质7-2对于旁心亦成立.

配图

证明: 不失一般性, 设 $c\ge b$. 设 $A$ 所对的旁切圆切 $BC$ 边于 $D^{\prime }$, 命题成立的充要条件是 $r_A/D{D}^{\prime }=GH/DH.r_A=S/(b+c-a)=2S/(p-a)$, $D{D}^{\prime }=c-b$, $GH=S/a$, $DH=(c-b)(p-a)/(2a)$,
代入得: $r_A/D{D}^{\prime }=2S/[(p-a)(c-b)]$, $GH/DH=2S/[(p-a)(c-b)]$, 显然成立.

性质7-4 (拓展). $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 外心为 $O$, 记 $G_A$, $G_B$, $G_C$ 分别为 $A$, $B$, $C$ 所对应高线的中点, 则 $D{G}_A$, $E{G}_B$, $F{G}_C$, $OI$ 交于一点.

配图

证明: 本结论的证明依赖于性质30的证明. 由性质7-4可知 $D{G}_A$ 过 $A$ 所对旁切圆的圆心 $J_A$, 设 $OI$ 与 $D{G}_A$ 交于 $T$, 设 $J_{A}D$ 的中点为 $R$, 则 $OR=\frac{r_A}{2}+R\cos A$, $IT/OT=r/OR=r/(\frac{r_A}{2}+R\cos A)$, 显然该比例式是性质30中所求的 $IT/TH$ 的 $2$ 倍, 由此易得此结论.

性质8-1. $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. $DI$ 交 $EF$ 于 $K$, 则 $AK$ 交 $BC$ 于 $BC$ 边的中点 $M$.

配图

证明: 过 $P$ 作 $IP$ 的垂线交 $AB$, $AC$ 于 $S$, $T$. 连结 $IE$, $IF$, $IS$, $IT$, 则 $F,P,I,S$ 四点共圆, $I,P,T,E$ 四点共圆, 则 $\angle IFP=\angle ISP=\angle IEP=\angle ITP$, $IT=IS$. 进而 $SP=PT$, 显然 $ST//BC$, 进而由相似可知, $BM=MC$.

配图

性质8-2. 在性质8-1的图中, 作 $DI$ 的延长线交内切圆 $I$ 于 $P$, 直线 $AP$ 交 $BC$ 于 $\angle BAC$ 所对旁切圆的切点(记为 $Q$).

配图

证明: 过 $P$ 作 $BC$ 平行线交 $AB$, $AC$ 于 $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, 则 $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 于 $△ABC$ 关于 $A$ 位似, 圆 $I$ 是 $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的旁切圆, $P$ 是圆 $I$ 与 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的切点, $Q$ 是 $P$ 的对应点, 因此 $Q$ 是 $△ABC$ 关于 $\angle BAC$ 的旁切圆的切点.

推论. 设 $AP$ 与内切圆交于 $R$, 则 $MR$ 与内切圆相切.

配图

证明: 显然 $IM$ 是 $△PQD$ 的中位线, 进而 $IM//PQ$, $\angle RIM=\angle PRI=\angle RPI=\angle DIM$, $IR=ID$, 因此 $△IMR\simeq △IMD$, 因此 $\angle IRM=\pi /2$, 证毕.

性质9. 设 $△ABC$的内切圆分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 三边于 $D$, $E$, $F$. 过 $A$ 作 $BC$ 的垂线交 $EF$ 于 $H$, $H$ 为 $△ABC$的垂心的充要条件是 $DH\perp EF$.

配图

证明: 连结 $AH$, $BH$, $CH$, $DH$, $IE$, $IF$.

充分性: $CH\perp AB$, $AI//DH$, 所以 $\angle DHC=\pi /2-\angle IAF=A/2$, 同理, $\angle BHD=A/2$. $DH$ 平分 $\angle BHC$, $\angle FHB=\angle EHC=\pi /2-A/2$, $\angle AFE=\angle AEF=\pi /2-A/2$, $\angle ABH=\pi /2-A$, $\angle ACH=\pi /2-A$, 因此 $BH\perp AC$, $CH\perp AB$, 因此 $H$ 是 $△ABC$ 的垂心.

必要性: $\angle FHB=\angle AFE-\angle ABH=\pi /2-A/2-(\pi /2-A)=A/2$, $\angle IEF=A/2$, $IE//BH$, 同理 $IF//CH$, $\angle BFH=\angle CEH$, $\angle FHB=\angle CHE=A/2$, 因此 $△BFH\sim △CEH$, $BH/CH=BF/CE=BD/CD$, 因此 $DH$ 平分 $\angle BHC$, $DH\perp EF$.

配图

性质10. $\angle FDE=B/2+C/2=\pi /2-\angle A/2$.

配图

证明:
$$\angle FDE=\pi -\angle FDB-\angle CDE=\pi -(\pi /2-B/2)-(\pi /2-C/2)=B/2+C/2$$

性质11-1. 设 $△ABC$ 的内心为 $I$, 过 $I$, $B$, $C$ 作圆分别交直线 $AB$, $AC$ 于 $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, 则 $B^{\prime },C^{\prime }$ 分别为 $B$, $C$ 关于 $AI$ 的对称点, 且 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 和内切圆 $I$ 相切.

配图

证明: 以 $AI$ 为对称轴, 作 $B$, $C$ 的对称点, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, 它们分别在 $AC$, $AB$ 上, $\angle A{C}^{\prime }I=C/2=\angle ICB$, 因此 $C^{\prime }$ 在过 $B$, $I$, $C$ 的圆上, 同理, $B^{\prime }$ 也在该圆上. 显然 $△ICB\simeq △I{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 且二者互为镜像, 因此 $I$ 到 $BC$ 的距离等于 $I$ 到 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的距离, 进而圆 $I$ 与 $C^{\prime }{B}^{\prime }$ 相切. 而 $C^{\prime }$, $B^{\prime }$ 显然为 $C$, $B$. 证毕.

配图

推论. 过 $I$, $B$, $C$ 的圆关于 $AI$ 对称.

性质11-2. 设 $△ABC$ 的内心为 $I$, 过 $I$, $B$, $C$ 的圆以劣弧 $BC$ 的中点为圆心, 且经过 $A$ 所对的旁心 $J_a$; 设 $AI$ 交 $BC$ 于 $P$, 则 $I$, $J_a$ 调和分割 $A$, $P$.

配图

证明: 设劣弧 $BC$ 的中点为 $O$, 由鸡爪定理, $OI=OB=OC$, 因此 $O$ 为过 $I$, $B$, $C$ 的圆的圆心. $\angle B{J}_{a}C=B/2+C/2=\pi /2-A/2=\pi -\angle BIC$, 因此 $J_a$ 在圆 $O$ 上. $BI$ 平分 $\angle ABP$, $B{J}_a\perp BI$, 因此 $I$, $J_a$ 调和分割 $A$, $P$.

下面, 我们探究过 $I$, $B$, $C$ 的圆 $O$ 与内切圆 $I$ 的交点.

性质11-3. 在性质11-2的图中, 设圆 $O$ 与圆 $I$ 交于 $K$, $L$ ($K$ 靠近 $B$) 两点, 则 $KL$ 到点 $D$ 的距离等于到 $EF$ 的距离; $△CLD\sim △CEK$.

配图

证明: 易证 $B$, $F$, $I$, $D$ 四点共圆, 由根心定理, $BI$, $FD$, $KL$ 三线共点, 记为 $G$, $BF=FD$, $FI=DI$, 因此 $BI$ 垂直平分 $FD$, 说明 $G$ 是 $FD$ 中点, 由此可知 $KL$ 到点 $D$ 的距离等于到 $EF$ 的距离. 记 $CK$ 交内切圆于除 $K$ 外的 $L^{\prime }$ 点, 由 $IK=IL$ 可知, $\angle KCI=\angle LCI$. 因此直线 $CK$ 与直线 $CL$ 关于 $CI$ 对称, 进而 $\angle LCD=\angle ECK$, 由切线性质可知, $C{D}^2=C{L}^{\prime }\cdot CK=CL\cdot CK$, 进而 $CK/CD=CE/CL$, 综上, $△CLD\sim △CEK$.

性质12. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 与 $BC$, $AC$, $AB$ 相切于 $D$, $E$, $F$. 以 $A$ 为圆心, $AE$ 为半径作圆, $DE$ 延长线交圆 $A$ 于 $G$, $DF$ 延长线交圆 $A$ 于 $H$. $H$, $A$, $G$ 共线且平行于 $BC$. 2022-04-09

配图

证明: 提示: 连结 $HA$, $HG$, 易知等腰三角形 $△AHF\sim △BDF$, 进而 $\angle AHF=\angle BDF$, $HA//BD$, 同理 $AG//BD$, 因此 $H$, $A$, $F$ 三点共线.

性质13. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 连结 $AD$, 交内切圆 $I$ 于 $L$, 则 $\angle FDL=\angle EDL$.

配图

证明: 以 $A$ 为圆心, $AE$ 为半径作圆, 显然圆过 $F$, 设 $DE$ 延长交圆 $A$ 于 $G$, $DF$ 延长交圆 $A$ 于 $H$, 连结 $HL$, $GL$, $FL$, $EL$, 由性质12可知, $H$, $A$, $L$ 共线, 易知 $△AHL\sim △AHD$, $△AGL\sim △AGD$, $\angle AHL=\angle ADH$, $\angle AGL=\angle ADG$, 由 $HL=GL$ 可知, $\angle AHL=\angle AGL$, 进而 $\angle FDL=\angle EDL$, 证毕.

性质14. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $AC$, $AB$ 于 $E$, $F$. $D$ 为内切圆上一点, 设 $EF$ 与 $AI$ 相交于 $K$, 则 $\angle IAD=\angle KDI$. 2022/04/09

配图

证明: 略.

性质15. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 与 $BC$, $AC$, $AB$ 相切于 $D$, $E$, $F$. 设 $EF$ 交 $BC$ 于 $T$, 过 $D$ 作 $DH\perp EF$ 于 $H$, 则 $FH/EH=BD/CD$ ($△BFH\sim △CEH$).

配图

证明: 在 $EF$ 上取点 $H^{\prime }$, 使得 $H^{\prime }F/H^{\prime }E=BF/CE$, 连结 $H^{\prime }B$, $H^{\prime }C$. 又有 $\angle BFH=\angle CEH$, 所以 $△BFH\sim △CEH$. $\angle FHB=\angle CHE$, $BH/CH=BD/CD$, 因此 $DH$ 平分 $\angle BHC$, $DH\perp EF$.

性质16-1. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$, $AD$ 交圆 $I$ 于 $L$, 过 $L$ 作圆 $I$ 的切线 $l$, 直线 $DF$ 交 $l$ 于 $S$, 直线 $DE$ 交 $l$ 于 $T$, $l$ 交 $BC$ 于 $G$, 则 $L$, $G$ 调和分割 $S$, $T$.

配图

证明: $EF$ 过 $G$, $D$, $G$ 调和分割 $BC$, 因此 $AB$, $AD$, $AC$, $AT$ 是调和线束, 设 $AD$ 交 $EF$ 于 $K$, 则 $K$, $G$ 调和分割 $E$, $F$, 进而 $DF$, $DK$, $DE$, $DG$ 是调和线束, 由此可得此结论.

性质16-2. 在性质16-1的图中, $SC$, $TB$, $AD$ 三线共点. 2022/04/19

配图

证明: 设 $BT$ 交 $AD$ 于 $X$, $CS$ 交 $AD$ 于 $X^{\prime }$.

对 $△LDG$ 和截线 $BXT$ 应用梅涅劳斯定理可知: $LX/XD\cdot BD/BG\cdot GT/LT=1$.

对 $△LDG$ 和截线 $S{X}^{\prime }C$ 应用梅涅劳斯定理可知: $L{X}^{\prime }/X^{\prime }D\cdot CD/CG\cdot GS/LS=1$, $BD/BG=CD/CG$, $GT/LT=GS/LS$, 因此 $LX/XD=L{X}^{\prime }/X^{\prime }D$. 证毕.

性质17. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$, $AC$ 边上的旁切圆切点为 $E^{\prime }$, 延长 $DI$ 交内切圆于 $P$, 作直线 $AP$ 交 $A{E}^{\prime }$ 于 $L$, 交 $BC$ 于 $Q$ (即 $BC$ 边上的旁切圆切点), 则 $AP=LQ$.

配图

证明: 对于 $△AQC$ 及截线 $E^{\prime }LB$, 由梅涅劳斯定理得: $AL/LQ=CB/BQ\cdot A{E}^{\prime }/E^{\prime }C$, $A{E}^{\prime }=CE=BQ=CD$, 因此 $AL/LQ=CB/E^{\prime }C=CB/AE=(r/\tan (C/2)+r/\tan (B/2))/(r/\tan (A/2))$.

过点 $P$ 作 $BC$ 的平行线分别交 $AB$, $AC$ 于 $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. 易证 $AP/PQ=A{B}^{\prime }/B{B}^{\prime }=A{C}^{\prime }/C{C}^{\prime }$. 因此 $AP/PQ=(B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime })/(A{B}^{\prime }+C{B}^{\prime })$, $B{B}^{\prime }=BF+B^{\prime }F$, $C{C}^{\prime }=CE+C^{\prime }E$, $A{B}^{\prime }=AF-B^{\prime }F$, $A{C}^{\prime }=AE-C^{\prime }E$, $B^{\prime }F=r\tan (B/2)$, $C^{\prime }E=r\tan (C/2)$.

由此可知:
$$AP/PQ=\frac{r\tan (C/2)+r\tan (B/2)+r/\tan (C/2)+r/\tan (B/2)}{2r/\tan (A/2)-r\tan (C/2)-r\tan (B/2)}$$
其中, $\tan (A/2)=1/\tan [(B+C)/2]$, 代入后, 可以验证
$$\begin{gathered} \frac{r\tan (C/2)+r\tan (B/2)+r/\tan (C/2)+r/\tan (B/2)}{2r/\tan (A/2)-r\tan (C/2)-r\tan (B/2)} \\ =\frac{r/\tan (C/2)+r/\tan (B/2)}{r/\tan (A/2)} \end{gathered}$$
因此 $AP/PQ=AL/LQ$, $AP=LQ$.

配图

性质18. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$. 设 $△ABC$ 的外心为 $O$, 内心为 $I$, $△DEF$ 的垂心为 $P$, 重心为 $Q$, 则 $O$, $I$, $P$, $Q$ 四点共线. ($△DEF$ 的欧拉线)

配图

证明: 由欧拉定理可知, $I$, $Q$, $P$ 三点共线. 作直线 $AI$ 交 $△ABC$ 的外接圆于 $M$, 连结 $OP$, $ID$, $PD$. $OM\perp BC$, $ID\perp BC$, $OM//ID$, $AI\perp EF$, $DP\perp EF$, $MI//DP$, 记外接圆的圆心为 $R$, 内切圆的圆心为 $r$, 则 $OM=R$, $QD=r$. 由垂心的性质可知, $DP=EF/\tan (\angle DEF)$, 易证 $\angle DEF=\pi /2-A/2.EF=2r\cos (A/2)$, 则 $DP=2r\sin (A/2)$. 由鸡爪定理, $MI=MC=2R\sin A/2$. $MI/DP=R/r=OM/ID$, 进而 $△OMI\sim △IDP$, 由此易证 $O$, $I$, $P$ 三点共线, 证毕.

性质19. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 切 $BC$ 于 $K$, $AD\perp BC$ 于 $D$, $M$ 为 $AD$ 的中点, $KM$ 交圆 $I$ 于 $N$, 作过 $B$, $C$, $N$ 三点的圆 $O_1$, 圆 $O_1$ 与圆 $I$ 内切 (称为 $A$ 对应的伪外接圆). 2022/04/16

出处: 锐角 $△ABC$ 的内切圆 $\Omega$ 切 $BC$ 于点 $K$, $AD$ 为 $△ABC$ 的高, $M$ 为 $AD$ 的中点, 直线 $KM$ 交 $\Omega$ 于另一点 $N$, 求证: $△BCN$ 的外接圆与 $\Omega$ 切于点 $N$. (2003年中国国家队培训题)

配图

证明: 作直线 $NI$, $NK$, 取 $BC$ 的中点 $Q$, 并过 $Q$ 作 $BC$ 的垂线交 $NI$, $NK$ 于 $O_1$, $P$. 连结 $IK$, $IK//O_{1}P$, $IN=IK$, 所以 $O_{1}P=O_{1}N$, 以 $O_1$ 为圆心作圆, 该圆与圆 $I$ 内切, 下面证明其过 $B$, $C$. 下面证明 $BK\cdot CK=NK\cdot PK$.
$BK=(p-b)$, $CK=(p-c)$, $PK=QK/\sin \theta$, $NK=2r\cos \theta$. ($\theta$ 为 $\angle NMD$ 的值, $r$ 为内切圆半径)
代入 $r=S/p$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, ($p=(a+b+c)/2$), $QK=(c-b)/2$,
$BK\cdot CK=(p-b)(p-c)$, $NK\cdot PK=2rQK\cdot DM/DK=(S/p)(c-b)/\tan \theta$,
$\tan \theta =DK/DM$, $DK=(p-c)-b\cos C=p-c-(a^2+b^2+c^2)/(2ab)=(c-b)(p-a)/a$,
代入可得:
$$\begin{gathered} BK\cdot CK=(S/p)(S/a)(c-b)/[(c-b)(p-a)/a] \\ =S^2/[p(p-a)]=(p-b)(p-c)=BK\cdot CK \end{gathered}$$
因此圆 $O_1$ 过 $B$, $C$. 证毕.

配图

性质20. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$, $AC$, $AB$ 于 $D$, $E$, $F$, 则 $AD$, $BE$, $CF$ 三线共点. 设 $DE$ 与 $AB$ 交于 $U$, $DF$ 与 $AC$ 交于 $V$, $EF$ 与 $BC$ 交于 $W$, 则 $D,E,F$ 三点共线.