高等数学：第七章 空间解析几何（1）空间解析几何与向量代数 向量的加减法、数乘、坐标

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§7.1  空间直角坐标系

一、空间点的直角坐标

平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究。

为了沟通空间图形与数的研究， 我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现。

1、空间直角坐标系

过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)， 且统称为坐标轴。

通常把轴，轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：

右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时，大拇指的指向就是轴正向。

三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系， 点叫做坐标原点。

注明：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把轴与轴间的夹角画成左右。当然，它们的实际夹角还是。

2、坐标面  卦限

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。

由轴与轴所决定的坐标面称为面，另外还有面与面。

三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限。

3、空间点的直角坐标系

取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系。

设为空间的一已知点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的三个平面，它们与轴、轴、轴的交点依次为，这三点在轴、轴、轴的坐标依次为，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组，这组数叫点的坐标。

依次称，，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为。

反过来，若已知一有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴取坐标为的点，然后过、、分别作轴、轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是以有序数组为坐标的空间点。

这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点和有序数组之间的一一对应关系。

注明：

空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定， 因此， 常称我们生活的空间为三度空间或三维空间 ”。 事实上，我们的生活空间应该是四度空间，应加上时间变量。即：，它表示在时刻所处的空间位置是。

二、空间两点间的距离公式

设、为空间的两点，则两点间的距离为

证明：

过、各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如图所示

是直角三角形， 故

是直角三角形， 故

从而  

而    

故    

特别地，点与坐标原点的距离为

§7.2  向量、向量的加减法与向量的数乘

一、向量的概念

既有大小，又有方向的量称之为向量。

数学上用一条有方向的线段(即有向线段)来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

以为始点，为终点的有向线段所表示的向量记为。

有时也有粗体字母或一个上面加有箭头的字母表示向量，如向量、、或 、、 等等。

向量的大小称作向量的模。

向量与的模记作与。

模等于1的向量称作单位向量。

模等于0的向量称作零向量，并记作，并规定：零向量的方向为任意的。

在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向一点引向量，这个向量称作点对于原点  的向径，常用表示。

实际问题中，有些向量与始点有关，而有些向量与始点无关，但一切向量的共性是：它们都有大小和方向。因此，在数学上我们只研究与始点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量。

当遇到与始点有关的向量时(例如：质点运动的速度)，可在一般原则下作特殊处理。

定义两向量、相等的意义如下：

若向量与向量的模相等，又互相平行，且指向一致，则称向量与向量相等，并记作。

显然，若，经过平行移动之后，与能完全重合在一起。

二、向量的加减法

据力学实验的结果，两个力的合力可根据平行四边形法则求出。

我们对向量规定加法运算如下：

设、，以与为边作一平行四边形，取对角线向量，记，称为与之和，并记作

这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则。

如果向量与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：

若与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和。

若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方向与模值大的向量方向一致。

由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：

 作，以的终点为起点作，联接得

。

该方法称作向量加法的三角形法则。

向量加法的三角形法则的实质是：

将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量。

据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：

1、交换律  

2、结合律  

与的模相同而方向相反的向量叫的负向量，记作。我们规定两向量与的差为：。

特别地，

由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去。由平行四边形法则，可如下作出向量。

三、向量与数量的乘法

设是一个数量，向量与的乘积规定如下：

1、当时，向量的方向与的方向相同，其模等于的倍，

即    ；

2、当时，向量是零向量，即 ；

3、当时，向量的方向与的方向相反，其模等于的倍，

即    。

特别地，取，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知： 。

据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：

1、结合律  

显然，向量、、的方向是一致，

且  =  == ·

2、分配律

一个常用的结论：

若( 为数量 )，则向量与向量平行，记作；反之，若向量与向量平行，则 ( 是数量)。

简言之，。

设是非零向量，用表示与同方向的单位向量。

由于与同方向，从而与亦同方向，而且

。

即    。

我们规定：若， 。于是  。

这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量。

请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式  。

十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成。

§7.3  向量的坐标

一、向量在轴上的投影与投影定理

1、空间两向量的夹角

设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作。

若、平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为。

类似地，可规定向量与数轴间的夹角

将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转， 使向量的正方向与数轴的正方向重合， 这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角。

2、空间点在轴上的投影

设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影。

3、向量在轴上的投影

设向量的始点与终点在轴的投影分别为、， 那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影， 记作 ， 轴称为投影轴。

这里，的值是这样的一个数值。

(1)、即， 数的绝对值等于向量的模。

(2)、当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，。

4、投影定理

【定理】向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。即

【证明】过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有相同的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有

故  

由上式可知：

向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量。

当非零向量与投影轴成锐角时， 向量的投影为正；

当与投影轴成钝角时，向量的投影为负；

当与投影轴成直角时，向量的投影为零。

【定理】两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和，即

证明：如图所示， 设为投影轴，作折线，

使  ，，，

，，，

不论在轴上的位置如何，总有

即     

【推广】

二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

向量的研究较复杂，为了沟通向量与数量，需要建立向量与有序数组之间的对应关系，借助向量在坐标轴上的投影可达到此目的。

1、向量在数轴上的投影向量及表示法

设是一空间向量， 为一条数轴。点、在轴上的投影分别为、，而点、在数轴上的坐标依次为、，则

记 ，则                                 (1)

设是与轴的正方向一致的单位向量，那么

                                      (2)

(1)式是向量在轴上的投影的计算公式，而称为向量在轴上的投影向量，(2)式是它的一种表示法。

2、向量在坐标轴上的分向量

设是一空间向量，其始点为，终点为，过点、各作垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围成一个以线段为对角线的长方体。

从图中可以看出

而

向量、、分别是向量在、、轴上的投影向量， 我们称它们分别是向量在、、轴上的分向量。

若以、、分别表示沿、、轴正向的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本向量。于是

因此   

或 

此二式称为向量或按基本向量的分解式。

3、向量的坐标

一方面，由向量可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影； 另一方面，由又可以唯一地定出向量。这样，向量与有序数组之间建立了一一对应的关系。

故可以把向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标，将表达式称作向量的坐标表示式。

注意：向量的坐标表示式是用花括号{  }表示的，不要与空间点的坐标表示式用圆括号(  )表示相混淆。

以为始点及为终点的向量的坐标式可表示成   

特别地， 空间点对于原点的向径为

4、用坐标形式表示向量的运算性质

设 ，，则

，

于是

最后，我们得到了向量加减与数乘运算的坐标表示式

【例1】定比分点公式

设和为两已知点，有向线段上的点将它分为两条有向线段和，使它们的值的比等于数()，即

求分点的坐标。

解：因为与在同一直线上，且同方向，故

，，

解得

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的。

设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为，规定：  

称为向量的方向角。

因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此

                           (1)

公式(1)中出现的称为向量的方向余弦。

而  

是与向量同方向的单位向量。

而 

                                  (2)

从而向量的方向余弦为

                                (3)

并且    

(2)、(3)式分别给出了用坐标式给出的向量的模与方向的计算公式。

【例2】已知两点和，求与同方向的单位向量。

解：

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/}