有趣的数学求和符号Σ (sigma)简述

老牧童 • 2025-03-17 20:10 • 未分类

有趣的数学求和符号Σ (sigma)简述符号 sigma 通常用于表示多个项的总和

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一、简单相加

符号∑（sigma）通常用于表示多个项的总和。这个符号通常伴随着一个索引，该索引变化以包含总和中必须考虑的所有术语。

例如，݊第一个整数的和可以用以下方式表示： $\sum_{i=1}^{n} i= 1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n$

或者，这两种表示意思都是一样的。

更一般地说，表达式 $\sum_{i=1}^{n} x_i$ 表示n项的总和 $x_1+x_2+x_3+\cdot \cdot \cdot +x_n$

1、示例1

给定 x_1 = 3 ， x_2=5 ， x_3=6 ， x_4=2 ， x_5=7 。

分别计算 $\sum_{i=1}^{5} x_i$ 和 $\sum_{i=2}^{4} x_i$ 。

2、简单规则

下图中c代表常数。

规则一中的常数可以提取出来。

规则二中的求和等于n个c相乘。

规则三中的相加等于分别求和。

3、示例2

给定 x_1 = 3 ， x_2=5 ， x_3=6 ， x_4=2 ， x_5=7 。并且 y_1 = 2 ， y_2=8 ， y_3=3 ， y_4=1 ， y_5=6 。

分别计算 $\sum_{i=1}^{5} 4x_i$ ， $\sum_{i=1}^{5} 4$ ， $\sum_{i=1}^{5} (x_i+y_i)$ 。

从上面公式可知

（1） $\sum_{i=1}^{5} 4x_i$

（2） $\sum_{i=1}^{5} 4$

（3） $\sum_{i=1}^{5} (x_i+y_i)$

4、需要注意

和不是一回事。

和不是一回事。

5、示例3

给定 x_1 = 3 ， x_2=5 ， x_3=6 ， x_4=2 ， x_5=7 。并且 y_1 = 2 ， y_2=8 ， y_3=3 ， y_4=1 ， y_5=6 。

二、双索引的情况

1、示例1

给定 x_1 = 3 ， x_2=5 ， x_3=1 。并且 y_1 = 2 ， y_2=4 。

我们将对x的项使用索引i，对y的项使用索引j。

于是我们的到如下

为了表示表格或矩阵的数据，我们经常见到或使用双索引表示法，如 $x_{ij}$ 其中第一索引（i）对应于数据所在的行的编号，第二索引（j）对应于列。例如，术语 $x_{24}$ 表示位于表或矩阵的第2行和第4列的交叉点处的数据。

2、示例2

给定如下矩阵定义

要求一行的项的和，我们必须固定该行的索引，并对所有可能的值更改列的索引。例如：

下图分别计算了第一行和第二行的和。

要求一列的项的和，必须固定该列的索引，并对所有可能的值更改行的索引。

下图计算了第四列的和

要对表中的所有项求和，必须更改两个索引并使用双和：

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