【线性代数】二、向量组和方程组

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向量和向量组

一、向量的线性相关性

线性表出
如果向量$\beta$对于向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2\dots {\alpha }_m$来说，存在m个常数$k_1,k_2\dots k_m$使得$$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\dots k_m{\alpha }_m$$那么称向量$\beta$能够被向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2\dots {\alpha }_m$线性表出。

上述线性表出、线性相关和线性无关的定义会在证明题中反复用到，请牢记

线性相关、线性无关的证明主要从定义和性质两方面入手

二、极大线性无关组、等价向量组和向量组的秩

1.极大线性无关组
在向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2\dots {\alpha }_s$中，如果存在部分向量组${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2}\dots {\alpha }_{i_r}$满足

1. ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2}\dots {\alpha }_{i_r}$线性无关
2. 向量组中任一向量都可以由${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2}\dots {\alpha }_{i_r}$线性表出

则称向量组${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2}\dots {\alpha }_{i_r}$是原向量组的极大线性无关组

极大线性无关组的求解

2.等价向量组

向量组直接使用三秩相等是最快速的：r(A)=r(B)=r(A|B)
向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念，矩阵等价要同行，但是向量组等价只要求同维数，向量个数可以不等。

方程组

一、齐次/非齐次方程组

齐次方程组解向量性质和基础解系
1.有解的条件
当r(A)=n时，方程组有唯一零解，向量组线性无关
当r(A)=r<n时，方程组有非零解，并且有n-r个线性无关解

齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n，基础解系是针对解向量空间来说的
齐次/非齐次的解的结构

非齐次线性方程组求解

克拉默法则求解

见例题5.1

三、考法

1.解含参数的线性方程组

TIPS：将线性方程组矩阵化后的矩阵，只能进行行变换，不能进行列变换

2.求两个方程组的公共解和同解

公共解：

同解：

注意：矩阵等价的条件是$r(A)=r(B)=r(A|B)$，要和方程组同解作区分

3.抽象型方程组

性质

(1)(2)(4)(5)中表示的是齐次方程组有零解/无穷解推导不出非齐次方程组的解情况，但是非齐次方程组有零解/无穷解可推导出齐次方程有零解/无穷解

判定是否为基础解系

满足三个条件：

1. 是方程组的解
2. 线性无关
3. 向量个数s=n-r(A)
   则为齐次方程组的基础解系

还有一种考法就是用基础解系表示方程组

解和系数的关系