数学基础 — 指数函数与对数函数的推导过程

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指数函数求导的推导过程可以通过定义极限和链式法则来实现。以下是详细推导过程，以自然指数函数 $f(x)=e^{g(x)}$ 为例：

1. 基本指数函数 $f(x)=e^x$ 的求导推导：

步骤1：利用导数的定义

导数的定义为：
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
对于函数 $f(x)=e^x$，可以写为：
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}$$

步骤2：化简表达式

利用指数函数的性质 $e^{x+\Delta x}=e^x\cdot e^{\Delta x}$，代入上式：
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^x\cdot e^{\Delta x}-e^x}{\Delta x}$$
将 $e^x$ 提出来：
$$f^{\prime }(x)=e^x\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$

步骤3：计算极限

这个极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$ 是一个已知的极限，其结果为1。因此：
$$f^{\prime }(x)=e^x\cdot 1=e^x$$

因此，自然指数函数 $e^x$ 的导数为 $e^x$。

2. 一般指数函数 $f(x)=a^x$ 的求导推导：

步骤1：将一般指数函数转化为自然指数函数形式

利用指数函数的转换公式 $a^x=e^{x\ln (a)}$，所以：
$$f(x)=a^x=e^{x\ln (a)}$$

步骤2：对自然指数函数求导

现在，我们可以对 $e^{x\ln (a)}$ 进行求导。根据链式法则：
$$f^{\prime }(x)=e^{x\ln (a)}\cdot \frac{d}{dx}(x\ln (a))$$
其中 $\frac{d}{dx}(x\ln (a))=\ln (a)$。因此：
$$f^{\prime }(x)=e^{x\ln (a)}\cdot \ln (a)=a^x\cdot \ln (a)$$

3. 对复合指数函数 $f(x)=e^{g(x)}$ 的求导：

步骤1：应用链式法则

假设 $f(x)=e^{g(x)}$，其中 $g(x)$ 是 $x$ 的函数。根据链式法则：
$$f^{\prime }(x)=e^{g(x)}\cdot g^{\prime }(x)$$
这里的 $e^{g(x)}$ 是外函数的导数，乘以内函数 $g(x)$ 的导数 $g^{\prime }(x)$。

总结

• 对于自然指数函数 $e^x$，其导数为 $e^x$。
• 对于一般指数函数 $a^x$，其导数为 $a^x\cdot \ln (a)$。
• 对于复合指数函数 $e^{g(x)}$，其导数为 $e^{g(x)}\cdot g^{\prime }(x)$。