流体力学——流体力学的基本概念

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一、 连续介质假设

连续介质假设认为真实流体所占有的空间可以近似的看作由“流体质点”连续的无间隙地充满着，所谓流体质点指的是微观上充分大，宏观上充分小的分子团。

二、流体的性质及分类

2.1 易流动性

流体在静止时是不能承受切向力，应为不管多小的切向力都会使得流体流动，从而发生发生变形。所以说流体在静止时只有法向应力而没有切向应力。

2.2 粘性，理想流体和粘性流体

1. 粘性：流体所具有的抵抗俩层流体相对滑动，或普遍来说抵抗形变的性质
2. 理想流体：无粘性的流体。很多时候粘性应力相较于其他类型的力时可以忽略不计，我们把它看成理想流体
3. 粘性流体：有粘性的流体

2.3 压缩性，不可压缩流体和可压缩流体

1. 压缩性：流体质点的体积或密度在压强或温度发生变化的条件下可以改变的性质
2. 不可压缩流体
3. 可压缩流体

三、描述流体运动的两种方法——拉格朗日方法和欧拉方法

3.1 拉格朗日方法

拉格朗日方法着眼于流体质点，描述每一个质点自始至终的运动过程，流体的运动规律可以表示成一下矢量形式
$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(a,b,c,t)$$
不同$a,b,c$代表不同的质点，$t$的改变。则是某一流体质点的运动规律

3.2 欧拉方法

欧拉方法着眼于描述空间中没一点上流体运动随时间的变化状况。欧拉方法中质点运动规律数学上可表达为
$$\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{r},t)$$
在直角坐标系中有
$$\begin{gathered} u=u(a,b,c,t) \\ v=v(a,b,c,t) \\ w=w(a,b,c,t) \end{gathered}$$
下面我们来计算$\frac{dv}{dt}$
$$\begin{array}{c}\frac{dv}{dt}=\underset{\Delta t\to \infty }{\lim }\frac{v(M^{\prime },t+\Delta t)-v(M,t)}{\Delta t}\\ =\underset{\Delta t\to \infty }{\lim }\frac{v(M^{\prime },t+\Delta t)-v(M^{\prime },t)}{\Delta t}+\underset{\Delta t\to \infty }{\lim }\frac{v(M^{\prime },t)-v(M,t)}{\Delta t}\\ =\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial s}\underset{\Delta t\to \infty }{\lim }\frac{M{M}^{\prime }}{\Delta t}\end{array}$$
令$V=\underset{\Delta t\to \infty }{\lim }\frac{M{M}^{\prime }}{\Delta t}$,表示单位时间内移动了$V$,我们称上述导数为随体导数，于是我们有：
$$\frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+V\frac{\partial v}{\partial s}$$
由前面我们知道
$$\frac{\partial v}{\partial s}=(s_0\cdot \nabla )v$$
其中$s_0$是曲线L上的单位切向量，考虑到$V{s}_0=v$,得
$$\frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+(v\cdot \nabla )v$$
上述将随体导数分解成局部导数和位变导数之和，对于任何矢量$\mathbf{a}$和标量$\phi$都是成立的，此时我们有
$$\begin{gathered} \frac{d\mathbf{a}}{dt}=\frac{\partial \mathbf{a}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot \nabla )\mathbf{a} \\ \frac{d\phi }{dlt}=\frac{\partial \phi }{\partial t}+\mathbf{v}\cdot grad\phi \end{gathered}$$
例 不可压缩流体的表达式
由于不可压缩流体满足：
$$\begin{gathered} \frac{d \\ \rho }{dt}=0 \end{gathered}$$
特别的，又当流体是均质（$\nabla \rho =0$）时，由于：
$$\begin{gathered} \frac{d \\ \rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla \rho \end{gathered}$$
故$\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$,从而$\rho =$常数。这里我们可以注意到$\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$和$$\begin{gathered} \frac{d \\ \rho }{dt}=0 \end{gathered}$$表示的不一样的物理意义。

四、 轨线和流线

4.1 轨线

轨线是流体质点在空间中运动所描绘出来的曲线。
如流体运动是由欧拉形式表示的：
$$\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{r},t)$$
此时要得到轨线方程，必须将欧拉变数装换到拉格朗日变数，即要解下面微分方程组：
$$\begin{gathered} \frac{dx}{dt}=u(x,y,z,t) \\ \frac{dy}{dt}=v(x,y,z,t) \\ \frac{dz}{dt}=w(x,y,z,t) \end{gathered}$$
或
$$\frac{dx}{u(x,y,z,t)}=\frac{dy}{v(x,y,z,t)}=\frac{dz}{w(x,y,z,t)}=dt$$
其中$t$是自变量，$x,y,z$是$t$的函数

4.2 流线

速度场是矢量场，可以用矢量线来描述一个矢量场，这种情况下，矢量线就是流线。
所谓流线，就是这样的曲线：对某一固定时刻而言，曲线上任意一点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合。应该特别指出，流线就是同一时刻不同质点组成的曲线。
流线所满足：
$$\frac{dx}{u(x,y,z,t)}=\frac{dy}{v(x,y,z,t)}=\frac{dz}{w(x,y,z,t)}$$

4.3 轨线和流线的区别

在非定常运动中，轨线和流线一般都是不重合的，但在定常曲线中，轨线和流线是重合的。
在微分方程中也可以看出：轨线的微分方程中$t$是自变量，而在流线的参数方程中，$t$是参数。

五、速度分解定理

5.1 刚体速度分解定理

从理论力学教材中得知，一个刚体运动可以分解为平动和转动之和，用公式表达有
$$\mathbf{v}$$