数学分析一些证明

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第三章-极限论

1. 序列极限的定义

对于数列 { x n } \{x_{n}\} {
xn​}，若$\forall \epsilon >0,\exists N>0(N\in {\mathbb{N}}^{\ast }),s.t.n>N$时有
$$\mid x_n-a\mid <\epsilon$$则称
$$\lim x_n=a(x_n\to a)$$

2. 函数极限的两种定义

• 对于任意以$a$为其中一个聚点的集合 X   = { x } {\mathcal X~=\{x\}} X ={
  x}，$f(x)$在$\mathcal{X}$上有定义。从中任意选出数列 { x n } \{x_{n}\} {
  xn​}，若$x_n\to a$且$x_n̸=a$， 那么如果数列 { f ( x n ) } \{f(x_{n})\} {
  f(xn​)}总有极限$A$(有限或无限) ⁽¹⁾ ，则 $A$ 是 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的极限，记作
  $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$$
• $a$是$f(x)$定义域的一个聚点，若$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,s.t.\mid x-a\mid <\delta 时有$
  $$\mid f(x)-A\mid <\epsilon$$则称
  $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$$
• 函数极限不存在的定义略

3. 略

4. 极限的简单性质

• 数列极限的性质
  1. 保序性：若$x_n\to a$且$(a>p)或(a<q)$，则$\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast }),s.t.n>N$时，$(x_n>p)或(x_n<q)$
     证明：
     选取足够小的$\epsilon$ 使得
     $$(a-\epsilon >p)或(a+\epsilon <q)$$这时由极限定义，$\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，$n>N$时有
     $$p<a-\epsilon <x_n<a+\epsilon <q$$所以$(x_n>p)或(x_n<q)$
  2. 保号性：取保序性p(q)为0的情况
  3. 保序性2：若$x_n\to a$且
     $$(x_n\le p)或(x_n\ge q)$$那么有
     $$(a\le p)或(a\ge q)$$
     证明：
     将上面保序性证明中的不等式改为
     $$q-\epsilon \le x_n-\epsilon <a<x_n+\epsilon \le p+\epsilon$$由于$\epsilon \in (0,+\infty ]$故
     $$(a\le p)或(a\ge q)$$
  4. 唯一性
     证明：
     假设 $\exists a̸=b$ 且有 $x_n\to a$ 和 $x_n\to b$，根据极限定义就会有 $\forall \epsilon >0，\exists N>0(N\in {\mathbb{N}}^{\ast }),s.t.n>N时$
     $$\{\begin{array}{l}a-\epsilon <x_n<a+\epsilon \\ b-\epsilon <x_n<b+\epsilon \end{array}$$现在取 $\epsilon =\frac{\mid a-b\mid }{2}$，则$x_n$不能同时满足上面两个式子，故$a=b$
     5. 有界性：若数列有有限的极限，那么它是有界数列
     证明：
     假设它虽然有有限的极限，但是它是无界的，那么根据定义有：
     $$\{\begin{array}{l}\forall \epsilon >0,\exists N>0(N\in {\mathbb{N}}^{\ast }),s.t.n>N时有\mid x_n-a\mid <\epsilon \\ \forall M>0,\exists n>0(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }),s.t.x_n>M\end{array}$$现在取$M$为数列前$N$项以及$a+\epsilon$当中最大的一个，显然第二个式子无法成立，于是乎数列是有界的。
• 函数极限的性质
  函数的性质证明，只要利用函数极限的第一种定义，取满足 $\mid x_n-a\mid <\delta$ 的数列 { f ( x n ) } \{f(x_{n})\} {
  f(xn​)}覆盖掉上面数列极限性质证明中的 $x_n$ 即可，表述上面要添加对于充分接近于a的x，f(x)有……性质
  例子：
  保序性：若有 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ ，若 $(A>p)或(A<q)$ ，则对于充分接近于 $a$ 的 $x$，$(f(x)>p)或(f(x)<q)$
  证明：
  在 $f(x)$ 定义域中任取趋于 $a$ 的数列 $x_n$ ,由函数极限定义 $f(x_n)$ 的极限即为 $f(x)$ 在 $a$ 点的极限，即：⁽¹⁾
  $$\lim f(x_n)=A$$选取足够小的$\epsilon$ 使得
  $$(A-\epsilon >p)或(A+\epsilon <q)$$这时由极限定义，$\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，$n>N$时有$$p<A-\epsilon <f(x_n)<A+\epsilon <q$$所以$(f(x_n)>p)或(f(x_n)<q)$，其中$x_n$为充分接近$a$的$x$( $n>N$ 的项)
• 在等式与不等式中取极限
  1. 若$x_n=y_n$，且两数列有有限的极限，则$\lim x_n=\lim y_n=c(c\in \mathbb{R})$
     证明略
  2. 若$x_n\ge y_n$，且两数列有有限的极限，则$\lim x_n\ge \lim y_n$
     证明：
     若有 $x_n\to a$ 和 $y_n\to b$，根据极限定义就会有 $\forall \epsilon >0，\exists N>0(N\in {\mathbb{N}}^{\ast }),s.t.n>N时$
     $$\{\begin{array}{l}{x}_n-\epsilon <a<x_n+\epsilon \\ y_n-\epsilon <b<y_n+\epsilon \end{array}$$由于$x_n\ge y_n$，于是有$a-b>x_n-y_n-2\epsilon \ge -2\epsilon$，即$a-b>-2\epsilon$
     又因为$\epsilon >0$，故$a-b\ge 0$，$a\ge b$
     (备注：$x_n>y_n$时同样有$\lim x_n\ge \lim y_n$，证明一样)
  3. 对于数列$x_n,y_n,z_n$，如果有$x_n\le y_n\le z_n$，且$\lim x_n=\lim z_n=a$，则$\lim y_n=a$
     证明：
     由极限的定义知，$\forall \epsilon >0，\exists N>0(N\in {\mathbb{N}}^{\ast }),s.t.n>N时$
     $$\{\begin{array}{l}a-\epsilon <x_n<a+\epsilon \\ a-\epsilon <z_n<a+\epsilon \end{array}$$于是乎由命题$x_n\le y_n\le z_n$可知，
     $$a-\epsilon <x_n\le y_n\le z_n<a+\epsilon$$于是乎$\lim y_n=a$

5. 单调有界原理：

如果数列是单调且有界的数列，它必定有有限的极限
证明：
取数列单调递增有上界的例子，单调递减有下界的情况类似
如果数列 $x_n$ 是上有界数列，那么根据上确界的有关性质，该数列必定有有限的上确界，设为 a = sup ⁡ { x n } a=\sup\{x_{n}\} a=sup{
xn​}，并且对于任意的 $\epsilon >0，\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })，s.t.x_N>a-\epsilon$
又因为 $x_n$ 为单调递增数列，故 $\forall n>N，x_n>a-\epsilon$，同时 $x_n\le a$，于是
$$\mid x_n-a\mid <\epsilon$$故 lim ⁡ x n = a = sup ⁡ { x n } \lim{x_{n}}=a=\sup\{x_{n}\} limxn​=a=sup{
xn​}

6. e 的定义以及证明：

考虑数列：
$$x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$$根据二项式定理：(可以自己在纸上画一画，由于有点长就简略变化过程了)
$$x_n=\sum _{i=0}^n(\frac{1}{i!}\prod _{k=0}^i(1-\frac{k}{n}))$$那么它的下一项：
$$x_{n+1}=\sum _{i=0}^{n+1}(\frac{1}{i!}\prod _{k=0}^i(1-\frac{k}{n+1}))$$很明显大于 $x_n$，说明 $x_n$是单调递增数列，其次：
$$x_n<\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}<1+\sum _{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^i}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}<3$$数列 $x_n$ 有上界，故 $x_n$ 有有限的极限，用 $e$ 来表示。

7. 波尔查诺 – 魏尔斯特拉斯引理(收敛定理)：

任何有界数列，总可以从中选出收敛于有限极限的子序列
证明：
由命题，设 $x_n\in [a_0,b_0]$，把区间分成两半，至少有其中一半有无穷个元素(若不然就只有有限个 $x_n$)，取这一半区间为 $[a_1,b_1]$(若两半都有无穷个元素则任取一半)，不断如此，可以构成两个数列：$a_n,b_n$使得有无穷个$x_n\in [a_n,b_n]$，又易知这个区间的长度为
$$\mid b_n-a_n\mid =\frac{b_0-a_0}{2^n}$$随着 $n$ 的增大而减短，于是 $\forall \epsilon >0，\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })，s.t.\frac{b_0-a_0}{2^N}<\epsilon$，当 $n>N$ 时，有：
$$\mid b_n-a_n\mid <\epsilon$$$$\lim (b_n-a_n)=0\Rightarrow \lim a_n=\lim b_n=c(c\in [a_0,b_0])$$于是因为 $a_n\le x_n\le b_n$，由夹逼准则知：
$$\lim x_n=c(c\in [a_0,b_n])$$

8. 柯西收敛准则

• 数列极限存在准则：$\lim x_n=a(a\in \mathbb{R})$ $\iff$ $\forall \epsilon >0，\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })，s.t.n>N且n^{\prime }>N$时，不等式
  $$\mid x_n-x_{n^{\prime }}\mid <\epsilon$$恒成立
  证明：
  1. 必要性：$\Rightarrow$
     由极限定义：$\forall \frac{\epsilon }{2}>0，\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })，s.t.n>N且n^{\prime }>N$时
     $$\{\begin{array}{l}\mid x_n-a\mid <\frac{\epsilon }{2}\\ \mid x_{n^{\prime }}-a\mid <\frac{\epsilon }{2}\end{array}$$于是有:
     $$\mid x_n-x_{n^{\prime }}\mid \le \mid x_n-a\mid +\mid x_{n^{\prime }}-a\mid <\epsilon$$
  2. 充分性：$\Leftarrow$
     由题有：$\forall \epsilon >0，\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })，s.t.n>N且n^{\prime }>N$有：
     $$\mid x_n-x_{n^{\prime }}\mid <\epsilon$$固定 $n^{\prime }，\epsilon$ 不变，有：
     $$x_{n^{\prime }}-\epsilon <x_n<x_{n^{\prime }}+\epsilon$$取 $M$ 为前n项 $x_n$ 和 $x_{n^{\prime }}+\epsilon$ 当中最大的一个，取 $m$ 为前n项 $x_n$ 和 $x_{n^{\prime }}-\epsilon$ 当中最小的一个，很明显有$x_n\in [m,M]$，根据收敛原理，可以从中取出一个子序列 { x n k } \{x_{n_{k}}\} {
     xnk​​}使得：
     $$\lim x_{n_k}=c(c\in [m,M])$$这时，由上面固定的 $\epsilon$ ，$\exists K(K\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，$s.t.k>K$且 $n_k>N$ 时，有：
     $$\mid x_{n_k}-c\mid <\epsilon$$由命题知又有：
     $$\mid x_n-x_{n_k}\mid <\epsilon$$结合两不等式有：
     $$\mid x_n-c\mid <\mid x_n-x_{n_k}\mid +\mid x_{n_k}-c\mid <2\epsilon$$
• 函数极限存在准则：${\lim }_{x\to a}f(x)=A(A\in \mathbb{R})$ $\iff$ $\forall \epsilon >0，\exists \delta >0，s.t.\mid x-a\mid <\delta 且\mid x^{\prime }-a\mid <\delta$时，不等式
  $$\mid f(x)-f(x^{\prime })\mid <\epsilon$$恒成立。
  证明：
  同样可以用“数列的语言”(函数极限的第一种定义方式)来将函数的极限转化为数列的极限，转化需要补充的句子：
  { x n } 是 从 f ( x ) 定 义 域 中 选 出 的 趋 于 a 的 数 列 ， ∀ ε &gt; 0 ， ∃ N ( N ∈ N ∗ ) ， 对 于 数 列 { f ( x n ) } 有 … … \{x_{n}\}是从f(x)定义域中选出的趋于a的数列，\forall \varepsilon&gt;0，\exist N(N\in\mathbb N^{*})，对于数列\{f(x_{n})\}有…… {
  xn​}是从f(x)定义域中选出的趋于a的数列，∀ε>0，∃N(N∈N∗)，对于数列{
  f(xn​)}有……⁽¹⁾( $x_n$ 本身即是可以任选的，具体可以看上面极限的简单性质部分中函数的极限的例子部分)

第四章-函数的连续性(与间断点)

1. 连续性的定义以及初等函数连续性的证明

• 连续性定义
  若 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 定义域中的一点，那么如果有：
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$那么则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$上是连续的，否则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 上是间断的。
  相对的，如果 $f(x_0+0)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 上是右连续的，如果 $f(x_0-0)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 上是左连续的。
  易知：
  $$f(x)是连续的\iff f(x)既是左连续的又是右连续的$$
• 单调函数的连续性条件：若 $f(x)$ 是定义在 $\mathcal{X}$ 上的单调函数，若 $f(x)$ 的值域 $R(f)\in \mathcal{Y}$，并把 $\mathcal{Y}$ 全部填满，那么 $f(x)$ 在 $\mathcal{X}$ 上是连续的。
  证明：
  假设 $f(x)$ 是在 $\mathcal{X}$ 上的增函数(减函数同理即可)
  分别考虑 $\mathcal{X}$ 中的每个 $x$ 的右连续性，左连续性便可以同理得出。
  设 $x_0\in \mathcal{X}$ 且 $x_0̸=\sup (x)$，则有 $y_0=f(x_0)\in \mathcal{Y}$。
  取 $\epsilon >0$ 并且 $y_1=y_0+\epsilon \in \mathcal{Y}$(因为 $x_0̸=\sup (x)$ 且 $f(x)$ 单调递增)，由命题，可找到一个 $x_1\in \mathcal{X}$ 并且 $y_1=f(x_1)$。
  由于 $f(x)$ 是增函数，于是有 $x_1>x_0$，令 $\delta =x_1-x_0$ ，此时对于 $x_0<x<x_0+\delta =x_1$，则有：
  $$f(x_0)<f(x)<f(x_1)\iff 0<f(x)-f(x_0)<\epsilon$$于是：
  $$\underset{x\to x_0+0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$ $f(x)$ 在 $\mathcal{X}$ 上是右连续的，同理也是左连续的，于是乎 $f(x)$ 在 $\mathcal{X}$ 上是连续的。
  $f(x)$ 为减函数时同理。
• 连续函数的算术运算：若 $f(x)，g(x)$ 时定义在同一区间 $\mathcal{X}$ 上的连续函数，那么以下函数在这一区间 $\mathcal{X}$ 上(除了 $g(x)=0$ 的位置)也是连续的：
  $$f(x)\pm g(x)，f(x)\cdot g(x)，\frac{f(x)}{g(x)}$$证明略
• 复合函数的连续性：若 $f(x)$ 是定义在 $\mathcal{X}$ 上的函数，值域 $R(f)\in \mathcal{Y}$，而 $g(y)$ 是定义在 $\mathcal{Y}$ 上的函数。若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 点上连续，$g(y)$ 在 $y=y_0=f(x_0)$ 点上也连续，那么函数 $g(f(x))$ 在 $x=x_0$ 点上也是连续的。
  证明：
  由命题可知 $\forall \epsilon >0,\exists {\delta }_y>0,s.t.\mid y-y_0\mid <{\delta }_y$时：
  $$\mid g(y)-g(y_0)\mid <\epsilon$$然而又对于这样的 ${\delta }_y,\exists {\delta }_x>0,s.t.\mid x-x_0\mid <{\delta }_y$时：
  $$\mid f(x)-f(x_0)\mid <{\delta }_y\iff \mid y-y_0\mid <{\delta }_y$$于是乎 $\forall \epsilon >0,\exists {\delta }_x>0,s.t.\mid x-x_0\mid <{\delta }_x$时：
  $$\mid g(f(x))-g(f(x_0))\mid <\epsilon$$所以 $g(f(x))$ 在 $x=x_0$ 点上连续。
• 初等函数的连续性
  证明：
  1. 有理整函数与有理分式函数：
     略
  2. 指数函数：
     指数函数为单调函数(单调增或减)，同时它的值域 $R(f)\in (0,+\infty )$ 总成立，并且填满了整个区间 $(0,+\infty )$ (因为对于每个 $y_0\in (0,+\infty )$ 都能找到一个 $x_0$ 使得 $f(x_0)=y_0$ )，于是根据上面的单调函数连续性条件知指数函数是连续函数。
  3. 对数函数：
     它与指数函数同理
  4. 幂函数：
     $y=x^{\mu }(\mu ̸=0)(x\in (0,+\infty ))$，当 $\mu \in (0,+\infty )$ 时，$y$ 单增且填满 $(0,+\infty )$，当 $\mu \in (-\infty ,0)$ ，$y$ 单减且填满 $(0,+\infty )$，幂函数连续。
     $(x\le 0)$ 情况略。
  5. 三角函数：
     对于 $y=\sin x$ 把他分成无穷个区间 $[k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2}]$ ，$y$ 在其中每一个区间都是单调且充满的，所以 $y=\sin x$ 在所有区间都是连续的。同理 $y=\cos x$ 也是连续的。
     再结合连续函数的算术法则，在分母不为0的点，下面三角函数也是连续的：
     $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}，\sec x=\frac{1}{\cos x}，\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}，\csc x=\frac{1}{\sin x}$$
  6. 反三角函数：
     四个反三角函数 $(\arcsin x,\arccos x,\arctan x,arccotx)$ 中，每一个都是在其定义域内单调递增或递减，同时填满其值域所在的区间，所以这四个反三角函数也是连续的。

2. 波尔查诺 – 柯西第一定理(零点定理⁽²⁾)：

若 $f(x)$ 在区间 $[a_0,b_0]$ 上有定义且连续，又在这个区间两端是异号的，那么一定 $\exists c\in [a_0,b_0]，s.t.f(c)=0$
证明：
找这个区间的中点 $x=\frac{a_0+b_0}{2}$ ，$f(x)$有三种情况：
$$\{\begin{array}{l}f(x)>0,\\ f(x)=0,\\ f(x)<0.\end{array}$$若为中间的情况，则这点就是所要求的 $c$，否则，这一点的函数值必定与两端的其中一端的函数值异号，令这一区间为 $[a_1,b_1]$ ，一直重复以上过程，若始终没有遇到 $f(\frac{a_n+b_n}{2})=0$的情况，那么这时候这个区间的长度为：
$$\mid b_n-a_n\mid =\frac{b_0-a_0}{2^n}$$随着 $n$ 的增大而减短，于是 $\forall \epsilon >0，\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })，s.t.\frac{b_0-a_0}{2^N}<\epsilon$，当 $n>N$ 时，有：
$$\mid b_n-a_n\mid <\epsilon$$$$\lim (b_n-a_n)=0\Rightarrow \lim a_n=\lim b_n=c(c\in [a_0,b_0])$$根据函数连续性的特点以及数列极限的简单性质(保序性)，有：
$$f(c)=\lim a_n\le 0,f(c)=\lim b_n\ge 0$$于是乎：
$$f(c)=0$$

3. 魏尔斯特拉斯第一定理(有界性定理)：

若 $f(x)$ 在区间 $[a_0,b_0]$ 上有定义且连续，则它是有界的。
证明：
若不然，假设无上界，那么在区间 $[a_0,b_0]$ 中存在一个数列 $x_n$，$\forall E>0，\exists N(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })，s.t.n>N时，f(x_n)>E$，即：
$$\lim f(x_n)=+\infty$$然而由波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理(收敛原理)，可以从 $x_n$ 中选出一个子序列 $x_{n_k}$ 使得：
$$\lim x_{n_k}=x_0\in [a_0,b_0]$$根据连续性定义：
$$\lim f(x_{n_k})=f(x_0)$$很明显与上式矛盾，故 $f(x)$ 有上界，同理也有下界，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 是有界的。

4. 魏尔斯特拉斯第二定理(最值定理)：

$f(x)$ 在区间 $[a_0,b_0]$ 上有定义且连续，则它是有界的，且必定达到它的上确界和下确界。
证明：
令 M = sup ⁡ { f ( x ) } M=\sup\{f(x)\} M=sup{
f(x)} ，利用反证法：假设 $\forall x\in [a_0,b_0]，f(x)<M$，这时构造辅助函数：
$$g(x)=\frac{1}{M-f(x)}$$由假设知这里分母不为0，所以 $g(x)$ 是连续函数，由魏尔斯特拉斯第一定理，$g(x)$ 是有界函数，设其上界为 $\mu >0$ ，有 $g(x)\le \mu$ 于是：
$$f(x)\le M-\frac{1}{\mu }$$于是乎 $M-\frac{1}{\mu }$ 也是 $f(x)$ 的一个上界，但这个上界小于给定的上确界 $M$，故矛盾。
所以至少$\exists x_0\in [a_0,b_0]，s.t.f(x_0)=M$，即 $f(x)$ 可以达到它的上确界。

第五章-一元函数的微分法

1. 反函数求导法则 ：

若 $y=f(x)$ 存在它的反函数 $x=g(y)$ ，且 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 点上有有限且不为0的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 那么它的反函数在对应的点 $y=y_0=f(x_0)$ 上也有导数存在且等于 $g^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$
证明：
根据导数的定义：
$$g^{\prime }(y_0)=\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$$

2. 复合函数的求导法则：

若 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 点有有限导数 $f^{\prime }(u_0)$ ， $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 点有有限导数 $g^{\prime }(x_0)$，那么复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x=x_0$ 点也有导数，表示为：
$$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(u_0)\cdot g^{\prime }(x_0)$$或者用莱布尼茨表示为更加形象的式子：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$证明：
由导数的定义知：
$$f^{\prime }(u)=\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}\Rightarrow \Delta y=f^{\prime }(u)\cdot \Delta u+\alpha \cdot \Delta u$$$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}$$两边取极限 $\Delta x\to 0$ 得：
$$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(u_0)\cdot g^{\prime }(x_0)$$($\alpha \cdot g^{\prime }(x)=0$ 显然成立)

3. 可微性与导数存在的关系定理：

在一元函数中，可微 $\iff$ 可导
证明：

• $\Leftarrow$
  $f(x)$ 可导，则有：
  $$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\Rightarrow \Delta y=y^{\prime }\Delta x+\alpha \Delta x=y^{\prime }\Delta x+o(\Delta x)$$于是乎根据函数可微的定义：
  $$dy=y^{\prime }\Delta x$$
• $\Rightarrow$
  $f(x)$ 可微，则有：
  $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$两边取极限 $\Delta x\to 0$ 得：
  $$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=A$$

4. 一阶微分的形式不变性：

即使用新的自变量 (例如 $t$ )取代替原来得自变量(例如 $x$ )，比如将 $x=g(t)$ 带入原来的函数 $y=f(x)$ ，函数 $y=f(x)$ 和 $y=f(g(t))$ 的一阶微分有相同的形式。
证明：
在自变量不变的情况下，$y=f(x)$ 的微分表示为：
$$dy=y_x^{\prime }\cdot dx$$对于变换自变量的函数 $x=g(t)$ 的微分可表示为：
$$dx=x_t^{\prime }\cdot dt$$于是乎原来函数的微分可表示为：
$$dy=y_x^{\prime }{x}_t^{\prime }\cdot dt$$根据复合函数的求导法则：
$$y_t^{\prime }=y_x^{\prime }\cdot x_t^{\prime }$$于是乎原来函数的微分又可以表示为：
$$dy=y_t^{\prime }\cdot dt$$

第六章-微分学的基本定理

1. 费马定理：

若函数 $f(x)$ 在其定义域内的某一内点(不在区间两端) $x=x_0$ 上取得最值，那么 $f^{\prime }(x_0)=0$
证明：
假设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 点上取得最大值，那么有：
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$然而右式分式上的分子始终小于等于0，当 $x<x_0$ 时：
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$$当 $x>x_0$ 时：
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$$于是，根据函数极限的保号性：
$$f^{\prime }(x_0)=0$$最小值同理

2. 罗尔定理：

若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义且连续，在区间 $(a,b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)$，那么 $\exists x_0\in (a,b)，s.t.f^{\prime }(x_0)=0$
证明：
根据魏尔斯特拉斯第二定理(最值定理)，函数在区间 $[a,b]$ 上可以取到最大值 $M$ 和最小值 $m$：

1. $m=M$ 时：
   很显然 $f(x)=C(C\in \mathbb{R})$ 恒成立，故 $f^{\prime }(x)=0$ 在 $x\in (a,b)$ 上处处成立。
2. $m<M$ 时：
   $f(x)$ 不可能在两个端点上分别取到最大值和最小值(因为 $f(a)=f(b)$ )，所以至少有一点 $x_0\in (a,b)$，使得 $f(x_0)=m$ 或 $f(x_0)=M$ ，再根据上面的费马中值定理： $f^{\prime }(x_0)=0$

3. 拉格朗日定理(有限增量定理)：

若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义且连续，在区间 $(a,b)$ 上可导，那么 $\exists x_0\in (a,b)$ ，使得：$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(x_0)$$
证明：
证明的关键在于构造符合罗尔定理的函数，即构造 $F(f(x))$ 使得：
$$F(f(a))=F(f(b))$$符合这样条件的函数有很多种，我们取最简单的：
$$F(f(x))=f(x)-kx$$很明显，由上面等式我们可以得出：
$$k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$于是根据罗尔定理，$\exists x_0\in (a,b)，s.t.(F(f(x_0)){)}^{\prime }=0$，即：
$$f^{\prime }(x_0)=k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

4. 柯西定理(有限增量公式的推广)：

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义且连续，在区间 $(a,b)$ 上可导，在区间 $(a,b)$ 内 $g^{\prime }(x)̸=0$，那么 $\exists x_0\in (a,b)$ ，使得：$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}$$
证明：
首先我们利用反证法证明 $g(b)̸=g(a)$ ：
若 $g(b)=g(a)$ ，由罗尔定理，$\exists x_1\in (a,b)，s.t.g^{\prime }(x_1)=0$ 与原定理假设相悖，于是乎 $g(b)̸=g(a)$
然后类似于拉格朗日定理，构造一个包含 $f(x),g(x)$ 的函数 $F(x)$ 使得：$$F(a)=F(b)$$同样的我们选取最简单的形式：
$$F(x)=f(x)-k\cdot g(x)$$根据上面等式我们可以求出：
$$k=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$于是乎，再根据罗尔定义， $\exists x_0\in (a,b)，s.t.F^{\prime }(x_0)=0$，展开即可得：
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}$$

5. 初等函数的泰勒公式：

在 $x=0$ 点上的泰勒展开公式为：
$$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x)\cdot x^i}{i!}+r_n(x)$$证明初等函数的泰勒展开就是在求初等函数在 $x=0$ 点上的 $n$ 阶导数值，无太多技巧性，所以这里证明从略。

1. $f(x)=e^x$
2. $f(x)=\sin x$
3. $f(x)=\cos x$
4. $f(x)=(1+x{)}^{\mu }$
5. $f(x)=\ln (1+x)$
6. $f(x)=\arctan (x)$

第七章-应用导数来研究函数

1. 函数为单调的条件

若函数 $f(x)$ 定义在区间 $\mathcal{X}$ 上，且在其内有有限的导数 $f^{\prime }(x)$，并且在其两端(如果两端在 $\mathcal{X}$ 上0)连续，那么 $f(x)$ 在 $\mathcal{X}$ 上狭义单调递增(递减)的充分条件为：
$$f^{\prime }(x)>0(<0)$$证明：
假设 $f(x)$ 单调递增，单调递减的部分同理。
在 $\mathcal{X}$ 上任取两个数 $x^{\prime },x^{\prime \prime }$，且 $x^{\prime }<x^{\prime \prime }$，在区间 $[x^{\prime },x^{\prime \prime }]$ 上利用拉格朗日定理有：
$$f(x^{\prime \prime })-f(x^{\prime })=f^{\prime }(x_0)(x^{\prime \prime }-x^{\prime })(x^{\prime }<x_0<x^{\prime \prime })$$因为$f^{\prime }(x_0)>0$ ，所以：
$$f(x^{\prime \prime })>f(x^{\prime })$$故 $f(x)$ 单调递增。

2. 极值的必要和充分条件

• 必要条件：若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 上取得极值，则 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的一个静止点。
  证明：
  若函数 $f(x)$ 在区间 $\mathcal{X}$ 上有定义且有有限的导数，且点 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的极值，那么根据极值的定义，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一领域的最值，根据费马中值定理，$f^{\prime }(x_0)=0$，因此 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个静止点。
• 充分条件：若在各阶到书中，第一个在点 $x_0$ 不等于零的是偶数阶导数，则函数在点 $x=x_0$ 有极值。
  证明：
  假设函数 $f(x)$ 的前 $n-1$ 阶导数都是零，而 $f^{(n)}(x_0)̸=0$，将 $f(x)$ 用佩亚诺型余项的泰勒公式展开，就有：
  $$f(x)=f(x_0)+0+...+0+\frac{f^{(n)}(x)+\alpha (x)}{n!}(x-x_0{)}^n$$$$f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x)+\alpha (x)}{n!}(x-x_0{)}^n$$其中 $\alpha (x)$ 当 $x\to x_0$ 时，$\alpha (x)\to 0$，于是当 $x$ 足够接近 $x$ 时，函数增量的正负性只取决于 $f^{(n)}(x_0)$ 和 $(x-x_0{)}^n$ 的正负性。
  当 $n$ 是偶数时，$x<x_0$ 情况与 $x>x_0$ 情况，$f(x)-f(x_0)$ 都有相同的正负性，也就是说，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个足够小的领域内的最值，也就是说 $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个极值。

3. 洛必达法则($\frac{0}{0}$型未定式)

若 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 的某个空心(仅左或仅右也行)领域上有定义且有有限的导数，如果 ${\lim }_{x\to a(\pm 0)}f(x)=0,{\lim }_{x\to a(\pm 0)}g(x)=0,g^{\prime }(x)̸=0$，且：
$$\underset{x\to a(\pm 0)}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=K(K\in \mathbb{R})$$则：
$$\underset{x\to a(\pm 0)}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=K$$证明：
只证明空心右领域的情况，空心左领域同理，于是空心领域即可得出。
给出 $f(x),g(x)$ 在 $x=x_0$ 的定义 $f(a)=g(a)=0$ ，于是 $f(x),g(x)$ 在某一区间 $[a,b]$ 上连续， 在 $(a,b)$ 上有有限导数，且 $g^{\prime }(x)̸=0$，根据柯西定理：
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}(x_0\in (a,x))$$$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x_0\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}=K$$