两点间直线最短不是公理！！！

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众所周知，两点之间直线最短，但这并非公理，本文将证明这个问题。首先从欧式几何说起。

欧式几何

欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。

欧式几何的五条公理是：

1. 任意两个点可以通过一条直线连接。
2. 任意线段能无限延长成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

很遗憾，两点间直线最短并不包含在公理当中。

曲线长度

$\Delta$s = $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$，

设y=f(x)，根据前面微积分-圆的面积和周长(1)中以直代曲的思想，可得
$\Delta$s= $\sqrt{\Delta x^2+(\Delta (x)\ast f^{\prime }(x){)}^2}$ = $\Delta x\sqrt{1+f’(x{)}^2}$

通过积分可以得到弧长公式：
$$l={\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+f’(x{)}^2}dx$$

欧拉-拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程推导过程比较复杂，涉及到泛函和变分的内容，后续文章会给出详细的推导过程。在这里，只需要知道要想让上面的弧长取得极值，需要满足欧拉-拉格朗日方程。
$\frac{\alpha L}{\alpha f}-\frac{d}{dx}(\frac{\alpha L}{\alpha f^{\prime }})=0$

将其带入到弧长公式得到，由于公式中不含有y，因此：
$\frac{\alpha L}{\alpha f}=\frac{d}{dx}(\frac{\alpha L}{\alpha f^{\prime }})=0$

$\frac{\alpha L}{\alpha f^{\prime }}=\frac{f‘}{\sqrt{1+f^{\prime 2}}}$ =C，C是常数
两边同时平方得到：
$\frac{f^{\prime 2}}{1+f^{\prime 2}}$ =C —->
$\frac{f^{\prime 2}+1-1}{1+f^{\prime 2}}$ =C —->
$\frac{1}{1+f^{\prime 2}}$ =C —->
f’=C
两边积分得到f(x) = kx+b而这正是一条直线。

写在最后

根据弧长公式，很容易证明圆的周长是2πR，这个后续会进行证明。欧拉-拉格朗日方程的证明是非常复杂的，后续会出专门的文章来详细说明整个过程。

现在我们已经证明了两点之间直线最短，那么两点之间是走直线最快吗？这就是著名的最速降线问题。

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