等比数列的概念和性质01

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相关概念

• 刻画等比数列的三种语言数学学习中少不了三种语言的相互转化，比如自然语言，就是我们经常口头表述的那种；符号语言，比如$f(x)\subseteq g(x)$和$x\in A$等等；图形语言，比如图形；关于三种常用且常见的数学语言形式的相互转换，往往会成为学生学习中的桎梏。建议大家不妨看看三种语言的相互转化

[自然语言]：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列称为等比数列此处一定要仔细体会类比的学习方法，比如$a_{n+1}-a_n=d$为等差数列，则将差类比为商，则可知$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$就称作等比数列；等差数列的相关结论可以类比到等比数列中来；等差数列的相关证明思路和方法也可以类比到等比数列里来，同样，我们还可以定义等和数列，等积数列等；，这个常数称为公比，常用$q$来表示。类比

[符号语言]：

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$，其中$n⩾1$，$n\in N^{\ast }$，$q$为常数。

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$，$n⩾2$，$n\in N^{\ast }$，$q$为常数。

[图形语言]：

• 等比中项：如果三个实数$a，G，b$成等比数列，则$G$称为$a，b$的等比中项，满足$G^2=ab$。¹

• 等比数列的通项公式：$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，推广形式为$a_n=a_m\cdot q^{n-m}$，其中对$n-1$的理解和等差数列中的$n-1$的理解是一样的；
• 等比数列的前$n$项和公式：$S_n=\{\begin{array}{l}n{a}_1，q=1\\ \frac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}，q\ne 1\end{array}$ ²

已知$S_n=a+a^2+a^3+\cdots +a^n(a\ne 0)$，求$S_n$的表达式。

分析：由于$a\ne 0$，故此数列为等比数列，由等比数列的前$n$项和公式，

应该分$a=1$和$a\ne 1$两种情形讨论如下：

当$a=1$时， { a n } \{a^{n}\} {
an}是等差数列，也是等比数列，$S_n=\underset{n个}{1+1^2+1^3+\cdots +1^n}=n$；

当$a\ne 1$时， { a n } \{a^{n}\} {
an}是等比数列，所以$S_n=\frac{a(1-a^n)}{1-a}$；

综上: $S_n=\{\begin{array}{l}n,a=1\\ \frac{a(1-a^n)}{1-a},a\ne 1\end{array}$

相关性质

• ①在等比数列 { a n } \{a_n\} {
  an​}中，若$m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k\in N^{\ast })$，则$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q=a_k^2$。
• ②若数列 { a n } \{a_n\} {
  an​}， { b n } \{b_n\} {
  bn​}(项数相同)是等比数列，则 { λ a n } ( λ ≠ 0 ) \{\lambda a_n\}(\lambda\neq 0) {
  λan​}(λ=0)， { 1 a n } \{\cfrac{1}{a_n}\} {
  an​1​}， { a n 2 } \{a_n^2\} {
  an2​}， { a n ⋅ b n } \{a_n\cdot b_n\} {
  an​⋅bn​}， { a n b n } \{\cfrac{a_n}{b_n}\} {
  bn​an​​}仍然是等比数列；³

• ③在等比数列 { a n } \{a_n\} {
  an​}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即$a_m，a_{m+k}，a_{m+2k}，a_{m+3k}，\cdots$为等比数列，公比为$q^k$；⁴

• ④当公比〔情形一：$q\ne -1$〕或〔情形二：$q=-1$且$n$为奇数〕时，则$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$\cdots$ 仍成等比数列，其公比为