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abstract
- 全微分方程
- 利用二元函数的全微分求积,可以求解全微分方程
- 曲线积分的基本定理(公式)
全微分方程
- 一个方程写成 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y P(x,y)dx+Q(x,y)dy= 0 0 0
(1)的形式后,若它的左端恰好是某一个函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的全微分: d u ( x , y ) \mathrm{d}u(x,y) du(x,y)= P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y P(x,y)dx+Q(x,y)dy(2),则方程(1)称为全微分方程
全微分方程的解
- 显然,若方程(1)的左端式函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的全微分,则 u ( x , y ) = C u(x,y)=C u(x,y)=C
(3),(其中 C C C是任意常数)就是全微分方程(1)的隐式通解 - 由曲线积分与路径无关判定定理,以及通过线积分的全微分求积公式: u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)= ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy
(4)可知,当 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y), Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在单连通域 G G G内具有一阶连续偏导数式,方程(1)称为全微分方程的充要条件为 P y P_{y} Py= Q x Q_{x} Qx(5)在区域 G G G内恒成立 - 且当此条件满足时,全微分方程的通解为 u ( x , y ) ≡ ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y u(x,y)\equiv{\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y} u(x,y)≡∫(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy= C C C
(6) - 其中 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0是在区域 G G G内适当选定的 M 0 M_0 M0的坐标
例
- 求 ( 5 x 4 + 3 x y 2 − y 3 ) d x (5x^4+3xy^2-y^3)\mathrm{d}x (5x4+3xy2−y3)dx+ ( 3 x 2 y − 3 x y 2 + y 2 ) d y (3x^2y-3xy^2+y^2)\mathrm{d}y (3x2y−3xy2+y2)dy= 0 0 0
(1) - 解
- 猜测该方程为全微分方程,作以下验证
- 设 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)= 5 x 4 + 3 x y 2 − y 3 5x^4+3xy^2-y^3 5x4+3xy2−y3; Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)= 3 x 2 y − 3 x y 2 + y 2 3x^2y-3xy^2+y^2 3x2y−3xy2+y2,
- 则 P y P_{y} Py= 6 x y − 3 y 2 6xy-3y^2 6xy−3y2= Q x Q_{x} Qx
- 因此方程(1)确实为全微分方程
- 在 G G G区域 ( x , y ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ) (x,y\in(-\infin,+\infin)) (x,y∈(−∞,+∞))内选择坐标 x 0 = 0 , y 0 = 0 x_0=0,y_0=0 x0=0,y0=0,根据公式(6):
- u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)= ∫ ( 0 , 0 ) ( x , y ) P d x + Q d y \int_{(0,0)}^{(x,y)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫(0,0)(x,y)Pdx+Qdy,
- 这里取简单折线路径 ( 0 , 0 ) → ( x , 0 ) → ( x , y ) (0,0)\to{(x,0)\to{(x,y)}} (0,0)→(x,0)→(x,y)
- u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)= ∫ 0 x P d x + ∫ 0 y Q d y \int_{0}^{x}P\mathrm{d}x+\int_{0}^{y}Q\mathrm{d}y ∫0xPdx+∫0yQdy
- = ∫ 0 x 5 x 4 d x \int_{0}^{x}5x^4\mathrm{d}x ∫0x5x4dx+ ∫ 0 y ( 3 x 2 y − 3 x y 2 + y 2 ) d y \int_{0}^{y}(3x^2y-3xy^2+y^2)\mathrm{d}y ∫0y(3x2y−3xy2+y2)dy
- = x 5 + 3 2 x 2 y 2 − x y 3 + 1 3 y 3 x^{5}+\frac{3}{2}x^2y^2-xy^3+\frac{1}{3}y^3 x5+23x2y2−xy3+31y3
- u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)= ∫ 0 x P d x + ∫ 0 y Q d y \int_{0}^{x}P\mathrm{d}x+\int_{0}^{y}Q\mathrm{d}y ∫0xPdx+∫0yQdy
- 也可以取简单路径 ( 0 , 0 ) → ( 0 , y ) → ( x , y ) (0,0)\to{(0,y)\to{(x,y)}} (0,0)→(0,y)→(x,y)
- u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)= ∫ 0 x P d x \int_{0}^{x}P\mathrm{d}x ∫0xPdx+ ∫ 0 y Q d y \int_{0}^{y}Q\mathrm{d}y ∫0yQdy= ∫ 0 x 5 x 4 + 3 x y 2 − y 3 d x \int_{0}^{x}5x^4+3xy^2-y^3\mathrm{d}x ∫0x5x4+3xy2−y3dx+ ∫ 0 y y 2 d y \int_{0}^{y}y^2\mathrm{d}y ∫0yy2dy= x 5 + 3 2 x 2 y 2 − x y 3 + 1 3 y 3 x^{5}+\frac{3}{2}x^2y^2-xy^3+\frac{1}{3}y^3 x5+23x2y2−xy3+31y3
- 于是方程的通解为 x 5 + 3 2 x 2 y 2 − x y 3 + 1 3 y 3 x^{5}+\frac{3}{2}x^2y^2-xy^3+\frac{1}{3}y^3 x5+23x2y2−xy3+31y3= C C C,即这个二元函数就是全微分方程(1)的通解
- 猜测该方程为全微分方程,作以下验证
- 方法2:使用偏积分的方法求解
- u x u_{x} ux= P P P
(2-0),两边对 x x x偏积分,得 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)= ∫ Q d x \int{Q}\mathrm{d}x ∫Qdx= x 5 + 3 2 y 2 x 2 − y 3 x + ϕ ( y ) x^{5}+\frac{3}{2}y^2x^2-y^3x+\phi(y) x5+23y2x2−y3x+ϕ(y)(2-1)- 这里 ϕ ( y ) \phi(y) ϕ(y)是以 y y y为自变量的待定函数
- 对(2-1)两边求 y y y的偏导
- u y u_{y} uy= 3 x 2 y − 3 x y 2 + ϕ ′ ( y ) 3x^2y-3xy^2+\phi'(y) 3x2y−3xy2+ϕ′(y)
(3) - 再由 u y u_{y} uy= Q Q Q,得 3 x 2 y − 3 x y 2 + y 2 3x^2y-3xy^2+y^2 3x2y−3xy2+y2= 3 x 2 y − 3 x y 2 + ϕ ′ ( y ) 3x^2y-3xy^2+\phi'(y) 3x2y−3xy2+ϕ′(y)
(3-1),从而 ϕ ′ ( y ) \phi'(y) ϕ′(y)= y 2 y^2 y2,两边积分,得 ϕ ( y ) \phi(y) ϕ(y)= 1 3 y 3 + C \frac{1}{3}{y^3}+C 31y3+C(4)
- u y u_{y} uy= 3 x 2 y − 3 x y 2 + ϕ ′ ( y ) 3x^2y-3xy^2+\phi'(y) 3x2y−3xy2+ϕ′(y)
- 将(4)代入(2-1),得 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)= x 5 + 3 2 x 2 y 2 − x y 3 + 1 3 y 3 + C x^{5}+\frac{3}{2}x^2y^2-xy^3+\frac{1}{3}y^3+C x5+23x2y2−xy3+31y3+C,
- 所以方程的通解为 x 5 + 3 2 x 2 y 2 − x y 3 + 1 3 y 3 x^{5}+\frac{3}{2}x^2y^2-xy^3+\frac{1}{3}y^3 x5+23x2y2−xy3+31y3= C C C
- u x u_{x} ux= P P P
曲线积分的基本定理
保守场
- 若曲线积分 ∫ L F ⋅ d r \int_{L}\bold{F}\cdot \mathrm{d}\bold{r} ∫LF⋅dr在区域 G G G内与积分路径无关,则称向量场 F \bold{F} F为保守场
定理
- 设 F ( x , y ) \bold F(x,y) F(x,y)= P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j P(x,y)\bold{i}+Q(x,y)\bold{j} P(x,y)i+Q(x,y)j
(1)是平面区域 G G G内的一个向量场- 若 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y), Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)都在 G G G内连续,且存在一个数量函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)使得 F \bold{F} F= ∇ f \nabla{f} ∇f
(2) - 则曲线积分 ∫ L F ⋅ d r \int_{L} \bold{F}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∫LF⋅dr在 G G G内与路径无关,且 ∫ L F ⋅ d r \int_{L}\bold{F}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∫LF⋅dr= f ( B ) − f ( A ) f(B)-f(A) f(B)−f(A)
(3)- 其中 L L L是位于 G G G内起点为 A A A,终点为 B B B的任一分段光滑曲线
- 若 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y), Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)都在 G G G内连续,且存在一个数量函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)使得 F \bold{F} F= ∇ f \nabla{f} ∇f
证明
- 设 L L L的向量方程为 r \bold{r} r= ϕ ( t ) i \phi(t)\bold{i} ϕ(t)i+ ψ ( t ) j \psi(t)\bold{j} ψ(t)j
(4), ( t ∈ [ α , β ] ) (t\in[\alpha,\beta]) (t∈[α,β])- 起点 A A A,终点 B B B对应的参数分别为 α , β \alpha,\beta α,β
- 由假设存在函数 f f f,满足 f x = P f_{x}=P fx=P, f y = Q f_{y}=Q fy=Q
(5); - 则式(2)改写为 ∇ f \nabla{f} ∇f= f x i + f y j f_{x}\bold{i}+f_{y}\bold{j} fxi+fyj
(6),即梯度向量 - P , Q P,Q P,Q连续,从而 f f f可微,且
- f t f_{t} ft= f x x t f_{x}x_{t} fxxt+ f y y t f_{y}y_{t} fyyt
(6-1) - 由(6)式可以将(6-1)改写为 f t f_t ft= ∇ f ⋅ ( x t i + y t j ) \nabla{f}\cdot{(x_{t}\bold{i}+y_{t}\bold{j})} ∇f⋅(xti+ytj)
(6-2) - 而 d r \mathrm{d}\bold{r} dr= d x i + d y j \mathrm{d}x\bold{i}+\mathrm{d}y\bold{j} dxi+dyj
(6-3), f t f_t ft= ∇ f ⋅ d r d t \nabla{f}\cdot\frac{\mathrm{d}\bold{r}}{\mathrm{d}t} ∇f⋅dtdr(6-4) - 再由(2)式 f t f_t ft= F ⋅ d r d t \bold{F}\cdot{\frac{\mathrm{d}\bold{r}}{\mathrm{d}t}} F⋅dtdr
(7)
- f t f_{t} ft= f x x t f_{x}x_{t} fxxt+ f y y t f_{y}y_{t} fyyt
- 而 I I I= ∫ L F ⋅ d r \int_{L}\bold{F}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∫LF⋅dr= ∫ α β F ⋅ d r d t d t \int_{\alpha}^{\beta}\bold{F}\cdot{\frac{\mathrm{d}\bold{r}}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t ∫αβF⋅dtdrdt
(8),将(7)代入(8),得 I I I= ∫ α β f t d t \int_{\alpha}^{\beta}f_{t}\mathrm{d}t ∫αβftdt= f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ∣ α β f(\phi(t),\psi(t))|_{\alpha}^{\beta} f(ϕ(t),ψ(t))∣αβ= f ( B ) − f ( A ) f(B)-f(A) f(B)−f(A)(9) - 证毕
小结
- 定理表明,对于势场 F \bold{F} F,曲线积分 ∫ L F ⋅ d r \int_{L}\bold{F}\cdot \mathrm{d}\bold{r} ∫LF⋅dr得值仅依赖于它的势函数 f f f在路径 L L L的两端点的值,而不依赖于两点间的路径
- 即积分 ∫ L F ⋅ d r \int_{L}\bold{F}\cdot \mathrm{d}\bold{r} ∫LF⋅dr在 G G G内与路径无关
- 因此,势场是保守场
和微积分基本公式的比较
- 公式 ∫ L F ⋅ d r \int_{L}\bold{F}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∫LF⋅dr= f ( B ) − f ( A ) f(B)-f(A) f(B)−f(A)与Newton-Leibniz公式(即微积分基本公式) ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx= F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a)(其中 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x))是完全类似的向量微积分的相应公式,称为曲线积分的基本公式
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