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【定理描述】若函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 连续， g ( x ) g(x) g(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 不变号且可积，那么至少存在一个点 η ∈ [ a , b ] \eta\in[a,b] η∈[a,b]，使得 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( η ) ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x)g(x)dx=f(\eta)\int_a^bg(x)dx ∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx
- 【证明】函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 连续，记其最大值、最小是分别为 M , m M,m M,m，即 m ≤ f ( x ) ≤ M (1) m≤f(x)≤M\tag{1} m≤f(x)≤M(1)由于 g ( x ) g(x) g(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 不变号，不妨认为 g ( x ) ≥ 0 g(x)≥0 g(x)≥0， ( 1 ) (1) (1) 式乘以 g ( x ) g(x) g(x)，得 m g ( x ) ≤ f ( x ) g ( x ) ≤ M g ( x ) (2) mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)\tag{2} mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)(2) ( 2 ) (2) (2) 式在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 积分，得 m ∫ a b g ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ≤ M ∫ a b g ( x ) d x (3) m\int_a^bg(x)dx≤\int_a^bf(x)g(x)dx≤M\int_a^bg(x)dx\tag{3} m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx(3)若 ∫ a b g ( x ) d x = 0 \int^b_ag(x)dx=0 ∫abg(x)dx=0，结论显然成立，否则除以该式，得 m ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x ≤ M (4) m≤\frac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int^b_ag(x)dx}≤M\tag{4} m≤∫abg(x)dx∫abf(x)g(x)dx≤M(4)由于 f ( x ) f(x) f(x) 是连续函数，因此必然存在 η ∈ [ a , b ] \eta\in[a,b] η∈[a,b]，使得 f ( η ) = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x f(\eta)=\frac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int^b_ag(x)dx} f(η)=∫abg(x)dx∫abf(x)g(x)dx即 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( η ) ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x)g(x)dx=f(\eta)\int^b_ag(x)dx ∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx
- g ( x ) < 0 g(x)<0 g(x)<0情况需要将不等式变号，证明过程一致。
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