数学公式【合集】

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泰勒展开式

$Taylo{r}^{\prime }sformula:f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$

$泰勒展开式使用前提：极限\to 无穷小$

$推导原理:麦克劳林公式f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

$x^n对应的系数设为a_n,则f^{(n)}(0)=a_n\cdot n!$

$$\begin{gathered} 助记：sinx,tanx分别与arcsinx,arctanx的x^3符号相反,f(0)=1含有1【注意别漏O(x^n)】 \\ 当x_0=0时: \end{gathered}$$

$1.sinx=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+o(x^5)$

$2.cosx=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+o(x^4)$

$3.tanx=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$

$4.arcsinx=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$

$5.arctanx=x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$

$6.ln(1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+o(x^4)$

$7.e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

$8.(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+o(x^2)$

$当x\to 0时：$
$$\begin{gathered} 1.变型： \\ \sqrt[\alpha ]{1+f(x)}-1=(1+f(x){)}^{\frac{1}{\alpha }}-1\sim \frac{1}{\alpha }f(x)【f(x)为无穷小量才可T】 \\ ln(f(x))=ln(1+(f(x)-1))\sim f(x)-1【f(x)-1为无穷小量才可T】 \\ {e}^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}(e^{f(x)-g(x)}-1)=e^{g(x)}(f(x)-g(x))[e^{g(x)}为非零因子,代入] \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 2.组合： \\ sinx-tanx=-\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3) \\ arcsinx-arctanx=\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3) \end{gathered}$$
$3.等价无穷小(等价无穷小是泰勒公式的一种特殊情况)$
$$\begin{gathered} sinx\sim x,ln(1+x)\sim x,tanx\sim x,e^x-1\sim x \\ arcsinx\sim x,arctanx\sim x,1-cosx\sim \frac{1}{x^2},(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x \end{gathered}$$
$无穷小o(x^{低阶})+o(x^{高阶})=o(x^{低阶})$

求导公式

$助记:名称带有“余“字，如余弦cos、余割csc、余切cot，求导都带负号$

$(1)(C{)}^{\prime }=0$
$(2)(x^u{)}^{\prime }=u{x}^{u-1}$
$(3)(sinx{)}^{\prime }=cosx$
$(4)(cosx{)}^{\prime }=-sinx$
$(5)(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x=\frac{1}{co{s}^{2}x}$
$(6)(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x=-\frac{1}{si{n}^{2}x}$
$(7)(secx{)}^{\prime }=sectanx$
$(8)(cscx{)}^{\prime }=-csccotx$
$(9)(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$
$(10)(e^x{)}^{\prime }=e^x$
$(11)(lo{g}_a^x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$
$(12)(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$(13)(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(14)(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(15)(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(16)(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$(17)[ln(x+\sqrt{x^2+1}){]}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(18)[ln(x+\sqrt{x^2-1}){]}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$求导组合运算:$

$(1)(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
$(2)(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$
$(3)(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
$(4)(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

$推导：$
$(tanx{)}^{\prime }=(\frac{sinx}{cosx}{)}^{\prime }=\frac{(sinx{)}^{\prime }cosx-sinx(cosx{)}^{\prime }}{co{s}^{2}x}=\frac{(co{s}^{2}x+si{n}^{2}x)}{co{s}^{2}x}=\frac{1}{co{s}^{2}x}=se{c}^{2}x$
$【简记分母co{s}^{2}x，cotx为tanx倒数则相反分母si{n}^{2}x】$

三角函数

奇变偶不变，符号看象限
$tan(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{2})=-cot\frac{\pi }{2}x$

$si{n}^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}$
$co{s}^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}$

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta$
$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$
$tan(\alpha +\beta )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }(与分子同号)$

$二倍角公式+万能公式（2\alpha \to \alpha ）:$
$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =\frac{2tan\alpha }{1+ta{n}^2\alpha }$
$cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha =\frac{1-ta{n}^2\alpha }{1+ta{n}^2\alpha }$
$tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-ta{n}^2\alpha }$

$令u=tan\alpha ,则sin2\alpha =\frac{2u}{1+u^2},cos2\alpha =\frac{1-u^2}{1+u^2},tan2\alpha =\frac{2u}{1-u^2},dx=\frac{2}{1+u^2}【注意tan\alpha 对应sin2\alpha 或cos2\alpha 两倍关系】$

$$\begin{gathered} 名称 \\ tanx正弦，倒数cotx正切：tanxcotx=1 \\ sinx正弦，倒数cscx余割：sinxcscx=1 \\ cosx余弦，倒数secx正割：cosxsecx=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 常用： \\ ta{n}^{2}x+1=se{c}^{2}x=\frac{1}{co{s}^{2}x}co{t}^{2}x+1=cs{c}^{2}x=\frac{1}{si{n}^{2}x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 和差化积： \\ sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2} \\ sin\alpha -sin\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2} \\ cos\alpha -cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2} \\ cos\alpha -cos\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 积化和差：如求\int sinxsin3xdx \\ [\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta ))=sin\alpha sin\beta ] \end{gathered}$$

诱导公式：

$(cot与tan同号)周期性：sin(2k\pi +\alpha )=sin\alpha$

百度文库

$cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )[周期]=cos(-\frac{\pi }{2}-\alpha )=cos(\frac{\pi }{2}+\alpha )=sin\alpha$
$sin(\frac{3\pi }{2}+\alpha )=sin(\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha )=-sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-cos\alpha$

百度词条

裴蜀定理
中国剩余定理
欧几里德算法
欧几里德算法扩展

洛必达

$在x=x_0可洛L^{\prime }的使用条件三个：$
$①\frac{0}{0}型或\frac{\infty }{\infty }型$
$②在x=x_0的去心邻域内可导$
$③\frac{F^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)}存在(\frac{0}{0}或\frac{\infty }{\infty })\to \frac{F(x)}{f(x)}可洛$

$$\begin{gathered} 不能L^{\prime }的情况： \\ ①题目仅仅说明f(x)在x=x_0可导 \\ ②x\to 0时含有sin\frac{1}{x}，cos\frac{1}{x}因子或x\to \infty 含有sinx,cosx因子 \\ ③用完后极限不存在，说明L^{\prime }不行，不代表极限不存在 \end{gathered}$$

函数图像

反三角函数：

(反三角函数：三角函数的反函数,其图像为三角函数x,y轴互换后的图像)
看图像可记住：
$arcsinx+arccosx=\frac{\pi }{2}(x\in [-1,1])$

$arcstanx+arccotx=\frac{\pi }{2}(x\in (-\infty ,\infty ))$

$x>0时,arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$
$x<0时,arctanx+arctan\frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$
$$\begin{gathered} (证明：设y=arctanx+arctan\frac{1}{x},y^{\prime }=0(无变化为常数代入得值), \\ x=1时,y=\frac{\pi }{2};x=-1时,y=-\frac{\pi }{2}) \end{gathered}$$
$补充：[函数与反函数复合]$
$$\begin{gathered} arcsin(sinx)=x(x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]) \\ sin(arcsinx)=x(x\in [-1,1]) \end{gathered}$$
$同理arctan(tan(\square ))=tan(arctan(\square ))=\square$

心形线（外摆线的一种）：

摆线：

规律公式

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$(1+2+3+\dots +n)=\frac{(1+n)n}{2}=(首项+末项)\ast 项数/2[等差数列求和]$

$$\begin{gathered} 补充： \\ (x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1=C_3^0{x}^3(-1{)}^0+C_3^1{x}^2(-1{)}^1+C_3^2{x}^1(-1{)}^2+C_3^3{x}^0(-1{)}^3 \end{gathered}$$
$(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$等差数列前n项和：\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{(首项+末项)\cdot 项数}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

$等比数列(a_1首项,q为公比)=\{\begin{array}{l}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}q\ne 1\\ n{a}_{1}q=1\end{array}$

$曲率公式：y=f(x)在x点的曲率为k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$曲率半径\rho =\frac{1}{k}$

$$\begin{gathered} 设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x_0,y_0） \\ 则点P到直线L的距离就是：\frac{|A{x}_0+B{x}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{gathered}$$

韦达定理

$$\begin{gathered} a^{2}x+bx+c=0,若方程有两个实根x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ 则\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}\end{array} \end{gathered}$$

不等式

$三角不等式：||b|-|a||⩽|b-a|⩽|a|+|b|$ (两边之和大于第三边)

$均值不等式：a^2+b^2⩾2ab,或|ab|⩽\frac{a^2+b^2}{2}a+b⩾2\sqrt{ab}$
$均值不等式一般化[a_i⩾0]：\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}⩾\sqrt[n]{a_1{a}_2\dots a_n}$

$\frac{x}{x+1}⩽ln(1+x)⩽x(x>0(x=0等号成立))$

$sinx<x<tanx(0<x<\frac{\pi }{2})$

$e^x⩾x+1(x\in R)$

$[x]⩽x⩽[x]+1$ (向下取整)

$$\begin{gathered} m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)，m，M为区间分别最小值，最大值 \\ 如f(x)单调减，f(k+1)\le {\int }_k^{k+1}f(x)dx\le f(k),((k+1)-k=1),长度1 \end{gathered}$$

旋转体

$积分微元，旋转2\pi r,距离r(x,y)$

质心

$(未给面密度p(x),,默认p(x)取1,视为均匀,此时质心与形心重合)$

$细棒（线）$

$X型$
$质心：(\bar{x},\bar{y})，\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}x\rho (x)dx}{{\int }_a^b\rho (x)dx}$

$形心：(\bar{x},\bar{y})，\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}xdx}{{\int }_a^{b}dx}$

$平面板（平面）$

$质心：(\bar{x},\bar{y})，\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\rho (x)dxdy}{\underset{D}{\iint }\rho (x)dxdy}$

$形心：(\bar{x},\bar{y})，\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xdxdy}{S_D区域面积}$

存疑$形心单独dx：\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xdx}{S_D区域面积},\bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }ydx}{S_D区域面积}$

点火公式

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(cosx)dx(注意f(sinx)可以是sinx,|cosx|,co{s}^{偶}x)$

${\int }_0^{\pi }f(sinx)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx)dx$

${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx$

$[当上下限(可能换元后)为0与\frac{\pi }{2}时对sinx和cosx使用,计算时尽量先用前面的公式化简]$
$$\begin{gathered} I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx \\ =\{\begin{array}{l}\frac{(n-1)!!}{(n)!!}\times \frac{\pi }{2}=\frac{(n-1)}{n}\cdot \frac{(n-3)}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}n为正偶数\\ \frac{(n-1)!!}{(n)!!}=\frac{(n-1)}{n}\cdot \frac{(n-3)}{n-2}\cdots \frac{2}{3}n为>1的正奇数\end{array} \end{gathered}$$

极限求导积分