笔记——空气动力学(一)

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力学属性

流体是由连续无间隙地充满所占据空间的流体质点组成。
流体质点所具有的宏观物理量满足一切物理定律。
流体质点：有质量，体积为0，由大量分子组成的微团，其宏观的物理属性是微团形心的值。
同一时刻，一个质点只能占据一个空间点——确保了质点物理量不间断，一个空间点只能被一个质点占据——确保了质点物理量为单值。这样可以将微积分引入其中。

努生数大于10，为离散流，如稀薄空气，用分子运动的波尔兹曼方程描述。

固体力学，剪应力与剪应变成正比；流体力学，剪应力还与剪应力持续时间有关。

体积弹性模量$E=-\frac{dp}{dV/V}$，来表示压缩性大小。
空气动力学是否要考虑压缩性，取决于空气流动速度。

只要流体流动就存在切应力，静止就不存在切应力。

静力学

斜面$ds$向水平面$oyz$投影，$dscos(n,x)=dydz/2$

一点任意方向的压强都一样，推导时忽略了三阶小量$f\rho dxdydz$

由闭曲线积分为0，得出单位质量力有势，则单位质量力可表示为势函数的梯度
$dp=-\rho d\Pi$
两点的势函数与压强呈关系$p_1-p_2=-\rho ({\Pi }_1-{\Pi }_2)$

等压面$dp=0$
$dp=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=f\cdot r$
则等压面上$f\perp r$

重力场静止液体的压强分布$p=p_0+\gamma h$，液体中一点的压强为自由面压强以及上方单位面积液柱重量之和。

描述运动的方法

一个空间点上前后经过两个质点a与b，$v_a\ne v_b$，因为：流场不均匀，流场非定常。
$\frac{d}{dt}V=a=V_t+(V\cdot \nabla )V$，推导忽略了二阶小量。
流场中物理量的导数就用随体导数。
流线：构成该线的质量点速度相同

定常，流线等于迹线
流线是流体不可跨越的曲线？

除奇点与零速度点外，流线不能相交、分叉、汇交、转折。

流体微团

前面说质点是微团，现在说质点组成微团？

微团的运行形式：平动、转动、角变形、线变形
微团速度$u,v,w$
微团夹角变化量 = 微团刚体转动 + 微团角变形量

直匀流动：宏观匀速直线运动，流体微团只有平动
无旋流动：流体微团有平动与变形，无转动
旋转容器中流动：流体微团有平动与转动，无变形

流体微团的形状、体积会变化，但质量不变。密度不变的不可压流动中，流体微团$divV=0$

微团角速度与旋度的关系 $w=1/2\nabla \times V$
无旋流场，其流动称为无旋流，流场各处的角速度为0
有旋流场，其流动称为有涡流。

斯托克斯定律：$\oint V\cdot dr=\iint rotV\cdot dA$
无旋流动：$\oint V\cdot dr=0$，因此速度场积分与路径无关，是一个势函数$\Phi$的梯度。（无旋便是有势流动）
${\int }_A^{B}V\cdot dr={\Phi }_B-{\Phi }_A$

微分方程

控制体：流场中选一个固定的矩形六面体，流体微团通过该控制体

根据质量守恒推导出控制体的连续性方程
$\frac{d\rho }{dt}+\rho \nabla \cdot V=0$
不可压缩流体：由流速的散度为0得$\frac{d\rho }{dt}=0$ ，任意通过该控制体的微团密度为常数，但不同微团的常数可以不同，即不同微团的密度可以不同。
随体导数：第一部分为同一个质点物理量随时间的变化，第二部分为不同质点物理量的变化。
$\frac{d\rho }{dt}={\rho }_t+(\rho \cdot \nabla )\rho$
$\frac{d\rho }{dt}=0$，并不表示${\rho }_t=0$

均匀流体$\frac{d\rho }{dx}=\frac{d\rho }{dy}=\frac{d\rho }{dz}=0$，即$\nabla \rho =0$

均质不可压流体，得出${\rho }_t=0$，即任意微团的密度为常数。

注：微团与质点指代不清

由散度的定义（单位体积的净流出量）可推导出高斯公式
$\iiint div(\rho V)d\tau =\iint n\cdot (\rho V)dA$

欧拉运动微分方程组是动量方程，忽略流体粘性，即没有剪切变形。
质量力 – 压力梯度 = 加速度
$\frac{du}{dt}=f_x-\frac{1}{\rho }{p}_x$
$\frac{dv}{dt}=f_y-\frac{1}{\rho }{p}_y$
$\frac{dw}{dt}=f_z-\frac{1}{\rho }{p}_z$
向量形式 $\frac{dV}{dt}=f-\frac{1}{\rho }\nabla p$
方程重新组合后为格罗米柯-Lamb型方程
$V_t-2V\times w=f-\frac{1}{\rho }\nabla p-\nabla (V^2/2)$
无旋流动
$V_t=f-\frac{1}{\rho }\nabla p-\nabla (V^2/2)$
理想流体是无旋流就一直无旋，是有旋流就一直保持旋度不变

理想正压定常流体的格罗米柯-Lamb型方程投影到任意一条曲线上推导出丹尼尔伯努利积分方程，该方程表明总机械能不变（势能、压能、动能）。
丹尼尔伯努利积分方程成立条件：$V\times w\cdot ds=0$，沿任一条流线或者涡线，都满足这个条件。

伯努利方程与积分所取的曲线无关的条件：$V\times w=0$，存在三种情况：
$V=0$，静止
$w=0$，无旋流
$V//w$，螺旋流动，流线与涡线重合

积分方程

系统特点： 1、系统边界随流体一起运动 2、系统的基本在系统的边界上没有质量的交换 3、系统的边界上受到外界的表面力 4、在系统的边界上存在能量的交换 

控制体特点： 1、控制体边界固定 2、控制面上可以有质量的交换 3、控制面上受到外力 4、控制面上存在能量的交换 

系统——拉格朗日，控制体——欧拉

任取一体积
拉格朗日型积分方程
连续方程：系统质量不随时间变化（系统不存在源与汇的条件下）
动量方程：系统动量变化率等于系统所受合外力
动量矩方程：系统对某点动量矩变化率等于系统上的所有外力对该点的力矩之和。这一点是否可以不在系统中？
能量方程：外界传入系统热量（热传导、热辐射）与外界对系统做功之和等于系统能量变化率
系统中物理量的积分$I=\iiint \rho \sigma d\tau$，引起该积分变化的原因：物理量发生变化，体积发生变化。系统的边界是动的，这是一个对动边界的积分。

雷诺输运方程：系统的随体导数
时刻t，系统（运动）与控制体（固定）重合都是${\tau }_0$，系统体积${\tau }_0={\tau }_{01}+{\tau }_{03}$，${\tau }_{01}$表示公共部分；时刻$t+\Delta t$，系统体积${\tau }_0^{\prime }={\tau }_{01}+{\tau }_{02}$，${\tau }_{02}$表示公共部分
${\tau }_{03}$表示流入控制体的微团体积，${\tau }_{02}$表示流出控制体的微团体积
系统积分量的变化率等于控制体物理量随时间变化率加控制面的净流出量（流入流出控制面的物理量之和），$\frac{dI}{dt}=I_t+(I\cdot \nabla )I$

通过雷诺输运方程将拉格朗日型积分方程转化为欧拉型积分方程

尾迹测阻法：通过欧拉型积分方程中的质量守恒、动量守恒就可求出流场对翼型的阻力。
$D={\int }_0^{h_2}\rho u_2(V_{\infty }-u_2)dy$，已知来流速度，空气密度，$u_2$的分布，便可得出翼型的阻力。
注：尾迹是指物体与流体发生相对运动时，物体后面的压强与流体其他部分的压强显著不同的区域。

注：源与汇叠加为偶极子。学习流体力学要与固体力学和电磁学对照。

旋涡

流体微团角速度不均匀会导致：旋涡诱导、旋涡扩散、旋涡耗散、旋涡相互作用

涡量是速度的旋度，等于角速度的2倍。
涡线上每一点的涡量方向都与该线相切
涡面：某一曲线内的涡线构成的曲面
涡管：封闭涡面
涡通量，涡强：涡量与旋转区域面积的乘积。旋涡强弱与涡量有关，还与旋转面积有关。

速度环量：任意闭曲线上的速度沿该闭曲线积分，逆为正
斯托克斯：任意闭曲线，该闭曲线上的任意曲面，涡通量等于速度环量
$\Gamma =\oint V\cdot ds=\iint rotV\cdot ds$
无旋流动，$\Gamma =0$

涡的诱导速度：一条强度为$\Gamma$的涡线，一段$ds$对线外的一点P会产生一个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。
诱导速度公式为比奥—萨瓦公式，同电磁感应比奥—萨瓦公式。
$dV=\frac{\Gamma ds}{4\pi r^2}sin\theta$
$dV=\frac{\Gamma ds\times r}{4\pi r^3}$
半无线长涡线：一端有限，一端无限。电磁学有半无线长导线

亥姆霍兹三大定理
条件：理想正压流体，质量力有势
1、沿涡线或涡管的涡强不变（或涡强保持定理）
推论：一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限远去，可以自相连接成一个涡环（不一定是圆环），也可以止于边界，固体的边界或自由边界（如自由液面）。

2、在某时刻构成涡线和涡管的流体质点，在以后运动过程中仍将构成涡线和涡管。（涡线保持定理）
说明涡线和涡管随着构成它的流体质点一起运动。
3、涡的强度不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或消失（涡强守恒定律）
说明：对于理想正压流体，在质量力有势条件下，流体的涡旋运动既不能产生，也不能消亡。也就是说，有旋运动永远保持有旋，无旋运动永远保持无旋。

旋涡运动产生与消亡的原因：粘性、非正压、质量力无势

补充

正压流体Barotropic fluid
斜压流体baroclinic fluid
等密度流体isopycnic fluid
等压流体isobares fluid
正压流体$\rho =f(p)$
大多数流体的密度可视为压力与温度的函数，水随温度变化很小，可视为正压流体。空气一般不行。
天体物理学中，将恒星内部或恒星间的流体假设为正压流体不太合理。
气象学中，正压大气的等压面也是等密度面也是等温面，根据thermal wind equation，地转风将不会随depth变化。

Equation of state
Ideal gas law $PV=nRT,n:mol,T:K,R:J/(mol\cdot K)$
摩尔质量：1mol物质中有6.022e23个分子，6.022e23个分子的质量便是摩尔质量
质量
分子质量

极大极小算法

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剪枝算法是极大极小算法的升级。