如何推导三角形不等式

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三角形不等式是几何学中的一个基本定理，指出对于任意三角形，其任意两边之和大于第三边。

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证明步骤：

1. 设定三角形的边长：
   设三角形的三边分别为 (a)、(b) 和 (c)，其中 (a)、(b)、(c) 都是正数，并且 (a \leq b \leq c)。
2. 应用余弦定理：
   余弦定理表明，对于任意三角形，边长和角度之间的关系为：
   $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\theta )$$
   其中 (\theta) 是边 (a) 和 (b) 之间的夹角。
3. 分析余弦定理的结果：
   由于 (\cos(\theta)) 的取值范围是 ([-1, 1])，我们可以分两种情况讨论：
   • 当 (\theta = 90^\circ) 时，(\cos(\theta) = 0)，此时 (c^2 = a^2 + b^2)，即 (c = \sqrt{a^2 + b^2})。
   • 当 (\theta \neq 90^\circ) 时，(\cos(\theta)) 不为零，且 (\cos(\theta)) 的绝对值小于等于1。
4. 推导三角形不等式：
   • 对于 (\theta \neq 90^\circ) 的情况，考虑 (\cos(\theta)) 的取值范围：
     $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\theta )$$
     由于 (\cos(\theta)) 的绝对值小于等于1，我们有：
     $$c^2\le a^2+b^2+2ab=(a+b{)}^2$$
     因此：
     $$c\le a+b$$
   • 对于 (\theta = 90^\circ) 的情况，(c = \sqrt{a^2 + b^2})，显然 (c < a + b)。
5. 总结：
   通过上述分析，我们可以得出结论：对于任意三角形，其任意两边之和大于第三边，即：
   $$a+b>c,b+c>a,a+c>b$$