光波导模式耦合理论

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1. Introduction

光波导基本理论中，较为重要的就是模式耦合理论与传输理论。前者描述的是波导内模式间或者波导之间的能量交换规律，后者阐释的是光是如何在波导中传播。

波导中的导波模式代表能够被激发的一种电磁波的形式。如果波导保持没有缺陷的均匀和规则形式，这一导波可以沿传播方向保持波场结构无改变地向前传播。如果波导有损耗，则传播常数为复数，波沿传播方向的振幅呈指数衰减。然而，实际波导不可能完美无缺，总会存在材料或结构的缺陷，即微小的不均匀或不规则。这时，导模的条件受到扰动，将会产生与局部缺陷相应的局部场。局部场里面含有多种模式的谐振分量，于是原来的导模在传播过程中，一部分功率将会转换到辐射模或其他导模中去，这就是模式耦合。

其中，模式耦合引起的导模向辐射模转换，将导致导波的损耗；而引起的一种导模转换为其他导模，则会由于不同模式的相速不同将引起光波传输特性变化和光脉冲包络的畸变，显然，这种耦合是有害的。

一方面（反面），通过对耦合系统的分析研究，就可以确定波导容许存在的缺陷或偏差；而另一方面（正面），我们可以利用模式耦合实现不同导模之间的转换，从而构成各种集成光学元件和器件。

理想状态下的正规波导，所有的传播模式之间，传播模式与辐射模式之间满足正交关系，各模式独立传播，故模式之间无能量交换。但是在非理想的实际情况中下，波导结构都或多或少存在一定的不完整性，如

波导的损耗
波导边界或几何形状有畸变
材料不均匀
波导周围存在其他波导
特意制作的波导结构的有规律的改变
……

都会导致波导内模式间或波导之间的能量交换，这时称模式之间发生了耦合。耦合大致分为两种：横向耦合和纵向耦合。

横向耦合：当两个波导靠的很近时，一个波导中的能量将耦合到另一个波导中，在另一个波导中激发出导模，这一导模场反过来又会对原来的波导产生影响，这种相互耦合称为横向耦合。
纵向耦合：波导的纵向不均匀性，会导致光波反射，则波导中存在正、负两个方向传播的光波。这时传播模式的正交性也会受到破坏，不同模式间产生产生能量耦合，这种耦合称为纵向耦合。

构成集成光路的大部分器件都是在各种不同的模式之间通过若干次耦合来处理和传输光波的，如光纤连接器、光模式转换器、光纤光栅、光波复用/解复用器及其他各类光纤或波导耦合器等。所以，对耦合机理的分析和计算是波导研究的重要内容之一，为描述光波在这类非正规波导中的传输行为，有效而精度又高的方法就是模式耦合理论，该理论适用范围极广。

2. Mode and theory

2.1 模式的正交性及归一化

理想的正规波导，模式之间不存在能量耦合，各导波模式独立传播。而实际的非正规波导，微小的几何变形、折射率沿传播方向的变化，都会导致模耦合。非正规波导边界条件复杂，很难直接严格求解，但实际上许多非正规波导都可以视作由一个结构接近的正规波导受到几何形状或折射率等的扰动而得到的，因此通常可以采用将实际波导的传输场按正规波导的完备的正交模式展开的方法进行分析。由于模式之间相互影响，存在能量交换，导模场功率将随z变化，所以展开系数不再是常数。展开系数不能再由简单的正交关系式求得，需要通过模耦合方程得到。

光波导中有限个离散的导波模式和具有连续谱的辐射模式，都是满足一定条件的电磁场方程的解，它们构成了光波导完整的、正交的本征模式系。波导中实际任何电磁场的传输问题，都可以分解为这些本征模式的传输问题，或者说，实际电磁场必然可以表示为所有导波模式和辐射模式的场的叠加，而这就是光波导模式的完备性。其数学表达式为：

$\vec{E}_{t}=\sum_{\mu} a_{\mu }\vec{E}_{\mu t}+\vec{E}_{rad}$
$\vec{H}_{t}=\sum_{\mu} b_{\mu }\vec{H}_{\mu t}+\vec{H}_{rad}$

其中离散的导模的展开系数由激励条件决定，可由模式的正交归一化特性得到，即

$a_{\mu}=\frac{1}{2}\iint_{}^{}(\vec{E}_{t}\times \vec{H^{*}_{\mu t}})\cdot \vec{z}_{0}dxdy$
$b_{\mu}=\frac{1}{2}\iint_{}^{}(\vec{E}^{*}_{\mu t}\times \vec{H_{t}})\cdot \vec{z}_{0}dxdy$

这里为什么 $a_{\mu}$ 和 $b_{\mu}$ 对应的积分能够作为展开系数来表示实际电磁场在第 $\mu$ 个导波模式上的贡献程度呢？

从数学角度来看，两者都是通过对特定的场量进行积分得到的。这个积分过程综合考虑了实际电磁场和导波模式的场在空间上的分布关系。对于 $a_{\mu}$ ，其中 $\vec{E}_{t}$ 是实际电磁场的横向电场，它包含了所有可能的场分布情况。而 $\vec{H^{*}_{\mu t}}$ 是第个导波模式横向磁场的复共轭，代表了特定的导波模式的磁场分布。两者的叉乘 $\vec{E}_{t}\times \vec{H^{*}_{\mu t}}$ 可以看作是一种对场的相互作用的度量。然后与单位矢量 $\vec{z}_{0}$ 做点积并在波导横截面进行积分，实际上是在对整个空间范围内这种相互作用进行累积求和。如果实际电磁场在某个区域与特定导波模式的场有较强的相似性或耦合程度，那么这个积分值就会较大，从而反映出实际电磁场在该导波模式上有较大的贡献。同理，对于 $b_{\mu}$ 也是类似的道理。通过这样的积分计算，能够定量地给出实际电磁场在特定导波模式上的贡献程度大小。

从物理意义上讲，光波导中的电磁场是由各种不同的模式组成的。实际电磁场可以看作是这些导波模式的线性组合，展开系数就是衡量每个导波模式在实际电磁场中所占比重的参数。通过上述积分式子计算得到的展开系数，能够准确地反映出实际电磁场在某个特定导波模式上的贡献程度，从而帮助我们更好地理解和分析光波导中电磁场的传输特性。

简单来说就是利用归一化后的总功率作为分母、各导波模式分功作为分子构成的展开系数对各模式进行权重分配。这也是前面推导过程中为什么不直接采用实际的模功率而采用归一化的模场分布的原因所在。

2.2 理想正规模式展开的模耦合方程

$\frac{db_{\mu}}{dz}+i\beta_{\mu}a_{\mu}=\sum_{\nu}K^{(1)}_{\mu\nu}a_{\nu}$
$\frac{da_{\mu}}{dz}+i\beta_{\mu}b_{\mu}=\sum_{\nu}K^{(2)}_{\mu\nu}b_{\nu}$

其中

$K^{(1)}_{\mu\nu}=\frac{\omega\varepsilon_{0}}{2i}\iint_{}^{}(n^{2}-n^{2}_{0})\vec{e}^{*}_{\mu t}\cdot\vec{e}_{\nu t}dxdy$
$K^{(2)}_{\mu\nu}=\frac{\omega\varepsilon_{0}}{2i}\iint_{}^{}\frac{n^{2}_{0}}{n^{2}}(n^{2}-n^{2}_{0})\vec{e}^{*}_{\mu z}\cdot\vec{e}_{\nu z}dxdy$

由以上方程可以看出，各模展开系数的变化不是独立的，磁场的模系数 $b_{\mu}$ 的变化受到所有电场的模系数 $a_{\mu}$ 的影响，反之亦然，说明模式之间存在耦合，而且电场和磁场之间也存在交叉耦合。

2.3 本地正规模式展开的模耦合方程

$\frac{db_{\mu}}{dz}+i\beta_{\mu}a_{\mu}=\sum_{\nu}R_{\mu\nu}b_{\nu}$
$\frac{da_{\mu}}{dz}+i\beta_{\mu}b_{\mu}=\sum_{\nu}S_{\mu\nu}a_{\nu}$

其中

$R_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\iint_{}^{}z_{0}\cdot (\vec{e}^{*}_{\mu t}\times \frac{\partial \vec{h}_{\nu t}}{\partial z})dxdy$
$S_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\iint_{}^{}z_{0}\cdot (\frac{\partial \vec{e}_{\nu t}}{\partial z}\times \vec{h}^{*}_{\mu t})dxdy$

2.4 平面介质光波导的耦合模微扰理论

平面介质光波导的模式耦合理论描述并不是唯一的，有多种方法建立耦合方程，导出其中的耦合系数。前面2.2节所提到是模式耦合的通用表达式，本小节将说明该模式耦合的通用表达式是如何获得的，推导过程的基本出发点是将耦合系统看作一个受到某种微扰的理想波导。

$\frac{d}{dz}c^{+}_{\mu}=\sum_{\nu}[K^{+}_{\mu \nu}c^{+}_{\nu}e^{i(\beta_{\mu}-\beta_{\nu})z}+K^{-}_{\mu\nu}c^{-}_{\nu}e^{i(\beta_{\mu}+\beta_{\nu})z}]$
$\frac{d}{dz}c^{-}_{\mu}=-\sum_{\nu}[K^{-}_{\mu \nu}c^{+}_{\nu}e^{-i(\beta_{\mu}+\beta_{\nu})z}+K^{+}_{\mu\nu}c^{-}_{\nu}e^{-i(\beta_{\mu}-\beta_{\nu})z}]$

其中

$K^{+}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}(K^{(1)}_{\mu\nu}+K^{(2)}_{\mu\nu})$
$K^{-}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}(K^{(1)}_{\mu\nu}-K^{(2)}_{\mu\nu})$

这是模耦合方程的另一种表达形式，也就是说，模式耦合通用表达式与微扰耦合方程在某种程度上可以视为等效。而微扰耦合方程说明正向、反向传输模都参与耦合。

以展开系数 $a_{\mu}$ 和 $b_{\mu}$ 形式给出的模耦合方程，与以正反模振幅 $c^{+}_{\mu}$ 和 $c^{-}_{\mu}$ 形式给出的模耦合方程，在理论上是等价的，可以互换。但是后者代表了正向模和反向模，不仅具有明显的物理含义，而且由于快变因子 $e^{\pm i\beta z}$ 被分离， $c^{+}_{\mu}$ 和 $c^{-}_{\mu}$ 成为慢变化振幅，求解过程采用近似方法更为方便。

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