相似矩阵和相似对角化

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矩阵的相似

定义：设$A,B$是两个$n$阶方阵，若存在$n$阶可逆矩阵$P$,使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$相似于$B$，记成$A\sim B$

矩阵相似是一种等价关系
$(1)$$A\sim A$（反身性）
$(2)$若$A\sim B$,则$B\sim A$（对称性）
$(3)$若$A\sim B,B\sim C$则$A\sim C$（传递性）

相似矩阵的性质
$(1)$若$A\sim B$则有：

$1^{\circ}:$$r(A)=r(B)$;
$2^{\circ}:$$|A|=|B|$;
$3^{\circ}:$$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$；
$4^{\circ}:$$A,B$有相同的特征值

$(2)$若$A\sim B$则有：
若$A^m\sim B^m;f(A)\sim f(B)$（其中$f(x)$是多项式）
$(3)$若$A\sim B$且$A$可逆，
则$A^{-1}\sim B^{-1},f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$（其中$f(x)$是多项式）
$(4)$若$P^{-1}A_1P=B_1$，$P^{-1}A_2P=B_2$，
则$P^{-1}A_1A_2P=P^{-1}A_1PP^{-1}A_2P$即$A_1A_2\sim B_1B_2$
$(5)$$P^{-1}(k_1A_1+k_2A_2)P=k_1P^{-1}A_1P+k_2P^{-1}A_2P$

对称矩阵的对角化(方阵)

对称矩阵的一些性质：
1：对称矩阵的特征值为实数
2：设$\lambda_1$和$\lambda_2$是对称矩阵$A$的两个特征值，$\mathbf{p}_1$，$\mathbf{p}_2$是对应的特征向量，若$\lambda_1\neq\lambda_2$,则$\mathbf{p}_1$和$\mathbf{p}_2$正交

定理：
设$A$为$n$阶对称矩阵，则必有正交矩阵$P$使得，$P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda$其中$\Lambda$是以$A$的$n$个特征值为对角元的对角矩阵

推论：
设$A$为$n$阶对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征方程的$k$重根，则矩阵$A-\lambda E$的秩$R(A-\lambda E)=n-k$，从而对应的特征值$\lambda$恰好有$k$个线性无关的特征向量。

矩阵可以对角化的条件

若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，则称$A$为可相似对角化，记$A\sim\Lambda$，称$\Lambda$是$A$的相似标准型。

$(1)$$n$阶矩阵$A\sim\Lambda$$\Leftrightarrow$有$n$个线性无关的特征向量


$(2)$矩阵$A$的属于不同的特征值的特征向量线性无关，若$n$阶矩阵$A$有$n$个不同的特征值，则$A$有$n$个线性无关的特征向量，于是$A\sim\Lambda$

$(3)$设$\lambda_0$是$A$的$r$重特征值，则$A$对应于$\lambda_0$的线性无关的特征向量的个数小于等于$r$.
矩阵$A$相似于对角矩阵$\Leftrightarrow$$A$的对应于每个$r_i$重特征值都有$r_i$个线性无关的特征向量。