高等数学：超越数性质推论

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定义：代数数是系数为有理数的多项式的根。如果一个多项式的系数都是代数数，则这个多项式的根也是代数数。超越数不是任何系数为代数数的多项式的根。

性质0

代数数对于四则运算是封闭的，所有代数数的集合构成代数数域。（证明略）

性质1

超越数的倒数仍然是超越数。

证明：取超越数$a$，假设其倒数$1/a$是代数数。设$b=1/a$，则$a=1/b$，根据性质$0$，$a$为代数数，与题设矛盾，故$1/a$不可能是代数数。

性质2

超越数的有理数次方幂仍然是超越数。

证明：首先证明超越数的正整数次方幂仍然是超越数。令a为任意超越数，$n$为任意正整数，假设 $a^n$ 为代数数，则多项式 $x^n-a^n=0$是代数数域上的一个多项式， $x=a$ 是这个多项式的一个根，因此， $a$ 是代数数，这与题设相矛盾，故 $a^n$不可能是代数数。

又根据性质1， $a^{-n}$也是超越数。故超越数非零整数次方幂均为超越数。

其次，要证明超越数的正整数次方根仍然是超越数。令a为任意超越数，$n$为任意正整数，假设 $a^{1/n}$ 为代数数，根据性质0，$n$个代数数相乘仍然是代数数，则 $a^{1/n}\times a^{1/n}\times \dots \times a^{1/n}=（a^{1/n}{）}^n=a$是代数数，与题设矛盾，故$a^{1/n}$只能是超越数。

综上所述，令$a$为任意超越数，$n$、$m$为任意非零整数，则$a^{m/n}$是超越数，即超越数的有理数次方幂是超越数。证毕$QED$.

性质3

代数数的共轭仍然是代数数，超越数的共轭仍然是超越数。（证明略）

性质4

超越数与它自己的倒数在代数数域上的线性组合，仍然是超越数。即若 $a$是超越数， $n$、$m$是代数数，则 $na+m/a$是超越数。

证明：设 $na+m/a$ 是代数数。则多项式 $(x+na)(x+m/a)=x^2+(na+m/a)x+nm=0$ 是一个系数为代数数的多项式， $x=-na$、$x=-m/a$ 分别是这个多项式的两个根，即它们都是代数数，与 $a$ 是超越数的题设相矛盾！所以，这个多项式的一次项系数 $(na+m/a)$ 只能是超越数！

性质5

设 $a$、$b$ 为满足 $\left|a\right|\ne\left|b\right|\ne\left|1/a\right|$ 的两个超越数，则 $ab、a/b、a-b、a+b$这四个数中，最多只有一个代数数。（留作习题答案略）

定理1（Hermite-Lindemann）：若 $a$ 为非零代数数，则 $e^a$为超越数。（由林德曼-维尔斯特拉斯定理易证）

推论1.1：由于三角函数、双曲函数都可以写成（$e$为底的）指数函数的线性组合和四则运算，所以，若 $a$ 为非零代数数，则其三角函数值、双曲函数值为超越数。

推论1.2： $e$ 和 $\pi$ 都是超越数。

定理2（盖尔方德—施耐德定理）：若 $\alpha 、\beta$ 都是代数数，且 $\alpha \ne 0,1、\beta$ 是无理数，则 ${\alpha }^{\beta }$是超越数。

推论2.1： $e^{\pi }$ 是超越数。

证明：利用欧拉公式 $e^{i\pi }=-1$ ，两边同时取 $-i$次方，得 $e^{\pi }=(-1{)}^{-i}$ ，由盖尔方德—施耐德定理，得证$e^{\pi }$是超越数。

推论2.2：$e^{\alpha \pi }$ 是超越数，其中代数数 $\alpha$是实部非零的复数或虚部不是有理数的纯虚数。