证明 二项分布 的期望和方差

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二项分布

二项分布（Binomial Distribution）是对进行 ( n ) 次独立重复试验，每次试验的结果只有两种可能：成功（记作 1）和失败（记作 0），并且每次试验成功的概率为 ( p ) 的情况进行建模。

假设随机变量 ( X ) 表示 ( n ) 次独立重复试验中成功的次数，则 ( X ) 服从参数为 ( n ) 和 ( p ) 的二项分布，记作

二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$

期望值

期望值（Expectation）也称为均值，表示随机变量在一次试验中可能的取值按各自概率加权后的平均值。对于二项分布 ( X ) 的期望值，记作

对于 ( n ) 次独立试验中的每一次试验，我们定义一个指示变量 ( I_i )，其中 ( I_i = 1 ) 表示第 ( i ) 次试验成功，( I_i = 0 ) 表示失败。因此，( X ) 可以表示为这些指示变量的和：
$$X=\sum _{i=1}^n{I}_i$$

由于每个 ( I_i ) 都是独立同分布的，并且
，因此每个 ( I_i ) 的期望值为 ( p )：
$$\mathbb{E}(I_i)=p$$

因为期望值具有线性性，对于 ( X ) 的期望值可以写为：
$$\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}\left(\sum _{i=1}^n{I}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathbb{E}(I_i)=\sum _{i=1}^{n}p=np$$

方差

方差（Variance）表示随机变量与其期望值之间的离散程度，记作
方差的定义为：
$$\text{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X){)}^2]$$

同样地，对于 ( X ) 的方差，可以通过指示变量表示：
$$\text{Var}(X)=\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{I}_i\right)$$

由于 ( I_i ) 彼此独立，因此：
$$\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{I}_i\right)=\sum _{i=1}^n\text{Var}(I_i)$$

对于每个 ( I_i )，因为它是伯努利分布，所以其方差为：
$$\text{Var}(I_i)=p(1-p)$$

因此，( X ) 的方差为：
$$\text{Var}(X)=\sum _{i=1}^n\text{Var}(I_i)=\sum _{i=1}^{n}p(1-p)=np(1-p)$$

结论

对于二项分布
，其期望值和方差分别为：
$$\mathbb{E}(X)=np$$
$$\text{Var}(X)=np(1-p)$$

这两个结果表明，在 ( n ) 次独立重复试验中，成功次数的平均值是 ( np )，而成功次数的离散程度由 np(1 – p) 决定。