物理学（第七版） -- 动量守恒定律&能量守恒定律

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冲量 $\overrightarrow{I}$ ：力对时间的积分

质点的动量定理：在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量等于质点在此时间内动量的增量

物体做机械运动时，动量 ${ \overrightarrow{p}}$ 与位矢 ${ \overrightarrow{r}}$ 是描述物体运动状态的参量

${ \overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{d(m\overrightarrow{v})}{dt}}$

${\overrightarrow{F}dt=d\overrightarrow{p}=d(m\overrightarrow{v})}$

${\int_{t_{1}}^{t_{2}}\overrightarrow{F(t)}dt=\overrightarrow{p_{2}}-\overrightarrow{p_{1}}=m\overrightarrow{v_{2}}-m\overrightarrow{v}_{1}}$

${ I_{x}=\int_{t}^{_{1}}F_{x}dt=mv_{2x}-mv_{1x}}$

${ I_{y}=\int_{t}^{_{1}}F_{y}dt=mv_{2y}-mv_{1y}}$

${I_{z}=\int_{t}^{_{1}}F_{z}dt=mv_{2z}-mv_{1z}}$

外力 $F^{ex}$ ：外界对系统内质点作用的力 $\overrightarrow{F_{1}}$ 、 $\overrightarrow{F_{2}}$

内力 $\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{F}_{i}^{in}$ ：系统内质点的相互作用力 $\overrightarrow{F_{12}}$ 、 $\overrightarrow{F_{21}}$

${\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}})dt=(m_{1}\overrightarrow{v_{1}}+m_{2}\overrightarrow{v_{2}})-(m_{1}\overrightarrow{v_{10}}-m_{2}\overrightarrow{v_{20}})}$

质点系的动量定理：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量

${\int_{t_{1}}^{t_{2}}\overrightarrow{F^{ex}}dt=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\overrightarrow{v_{i}}-\sum_{i=1}^{n}m_{i}\overrightarrow{v_{i0}}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_{0}}}$

作用于系统的合外力是作用于系统内每一质点的外力的矢量和

只有外力才对系统的动量变化有贡献，而系统的内力（系统内各质点的相互作用）是不能改变整个系统的动量的

在无限小的时间间隔内，作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率

${ \overrightarrow{F^{ex}}dt=d\overrightarrow{p}}$ ${\overrightarrow{F^{ex}}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}}$

动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变

${ \overrightarrow{p}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\overrightarrow{v_{i}}=C}$ ， C 为常矢量

${ p_{x}=\sum m_{i}v_{ix}=C_{1} (F_{x}^{ex}=0)}$

${p_{y}=\sum m_{i}v_{iy}=C_{2} (F_{x}^{ex}=0)}$

${ p_{z}=\sum m_{i}v_{iz}=C_{3} (F_{x}^{ex}=0)}$

系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，此外，各物体的动量必须都相对于同一惯性参考系

系统动量守恒的条件是系统所受的合外力必须为零，但，当外力远小于内力时可以认为系统的动量是守恒的 eg.爆炸

若系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，此时，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴上的分动量是守恒的

功 W ${dW=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}$

${ W=\int d W=\int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{A}^{B}Fcos\theta ds }$

${W=\int_{A}^{B}F\cdot dr=\int_{A}^{B}(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)}$

合力对质点所做的功，等于每个分力所做功的代数和

${W=W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{4}+...W_{i}+...}$

功率：功随时间的变化率

${P=\frac{dW}{dt}=\overrightarrow{F}\cdot \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{v} }$

质点的动能定理：合力对质点所做的功等于质点动能的增量

只有力对质点做功，才能使质点的动能发生变化

功是能量变化的量度，过程量

动能取决于质点的运动状态，运动状态的函数

功&动能依赖于惯性系的选取，但，不同的惯性系，动能定理的形式相同

保守力：保守力所做功只与质点的始末位置有关，而与路径无关 eg.万有引力、弹性力、库仑力

质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所做的功为零

非保守力：所做的功与路径有关的力 eg.摩擦力、安培力

势能：与质点位置有关的能量

引力势能 ${ E_{p}=-G\frac{m{m}'}{r}}$

弹性势能 ${E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}}$

重力势能 ${E_{p}=mgy}$

势能是坐标的函数，亦是状态的函数

势能的值与势能零点的选取有关，但，任意两点间的势能之差具有绝对性

势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的

势能属于系统，单独谈单个质点的势能没有意义

势能曲线

势能曲线不仅给出势能在空间的分布，还可以表示系统的稳定状态

质点的动能定理：作用于质点系的力所做的功，等于该质点系的动能增量

质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力做的功与一切内力做的功之和

${\sum_{i=0}^{n}W_{i}=\sum_{i=0}^{n}E_{ki}+\sum_{i=0}^{n}E_{ki0}}$

${\sum_{i=0}^{n}W_{i}=\sum_{i=0}^{n}W_{i}^{ex}+\sum_{i=0}^{n}W_{i}^{in}=W^{ex}+W^{in}}$

${ W^{ex}+ W^{in}=\sum_{i=1}^{n}E_{ki}-\sum_{i=1}^{n}E_{ki0}}$

质点系的功能原理：质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力做功之和

动能和势能统称为机械能

${ W^{ex}+W_{in}^{nc}=E-E_{0}}$

功是能量变化与转化的一种量度

能量是代表质点系统在一定状态下所具有的做功本领，与质点系统的状态有关

机械能，与质点系统的机械运动状态（位置&速度）有关

机械能守恒定律：当作用于质点系的外力和非保守力内力均不做功，此时质点系内的动能和势能可以相互转化，但质点系的总机械能是守恒的

在机械能守恒定律中，机械能是不变量或守恒量，而质点系的动能和势能之间的转化则是通过质点系内的保守力做功 $W_{c}^{in}$ 来实现的

${ \sum E_{ki}+\sum E_{pi}=\sum E_{ki0}+\sum E_{pi0}}$

${ \Delta E_{k}=-\Delta E_{p}}$

完全弹性碰撞：在碰撞后，两物体的动能之和完全没有损失

非弹性碰撞：在两物体碰撞时，由于非保守力作用，致使机械能转化为热能、声能、化学能等其他形式的能量，或者其他形式的能量转化为机械能

完全非弹性碰撞：两物体在非弹性碰撞后以同一速度运动

能量守恒定律：对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转化的，但无论如何转化，能量既不能产生，也不能消灭

功是机械能变化的唯一量度

能量则只和系统的状态有关，是系统状态的函数

质心 ${\overrightarrow{r_{c}}=\frac{m_{1}\overrightarrow{r_{1}}+m_{2}\overrightarrow{r_{2}}+...+m_{i}\overrightarrow{r_{i}}+...}{m_{1}+m_{2}+...+m_{i}+...}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\overrightarrow{r_{i}}}{{m}'}}$

${ x_{c}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}{{m}'}}$ ${y_{c}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i}}{{m}'}}$ ${ z_{c}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}z_{i}}{{m}'}}$

对于质量连续分布的物体，可把物体分成许多质量元dm

${ x_{c}=\frac{1}{{m}'}\int xdm}$ ${ y_{c}=\frac{1}{{m}'}\int ydm}$ ${ z_{c}=\frac{1}{{m}'}\int zdm}$

系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度诚意系统的质量

${{m}'\overrightarrow{v_{c}}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\overrightarrow{v_{i}}=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{p_{i}}}$

质点运动定理:作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度

${\overrightarrow{F^{ex}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{d\overrightarrow{p}_{i}}{dt}={m}'\frac{d\overrightarrow{v_{c}}}{dt}={m}'\overrightarrow{a_{c}}}$

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