数据结构4 Tree

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Tree的定义

tree中没有Loop，故每一个结点都是subtree，所以访问多按照递归。

n个Tree结点，有n-1条边。

degree of node：结点孩子的个数

degree of Tree：所有结点中最大的degree of node

parent：一个拥有子树的结点

chird:子节点

sibling：拥有相同的parent

leaf :没有child

path:从一个结点到另一个结点的路径

length of path :一个路径经过的边

depth：root到该结点的路径长度（由于根在最上方，因此depth描述了离根的深度）

height：该结点到leave的最大长度（由于Leave在最上方，因此height描述了该节点离最下方的高度）

注意图论中的degree之和为边的两倍，数据结构中的degree应加1

Tree的实现

任意Tree

struct TreeNode{ int element; struct TreeNode* firstchild; struct TreeNode* nextsibilng; }; 

一个结点包括了数据，第一个孩子的指针，同辈的指针

当不存在child或者sibling时，指针指向NULL

binary Tree

struct TreeNode{ int element; struct TreeNode* lchild; struct TreeNode* rchild; }; 

一个结点包括了数据，左孩子的指针，右孩子的指针。

可以看出，二叉树可以和任意树相互转化，但是转化后只是连接的顺序不变，parent和sibling的关系会发生改变

Tree Traversals

preorder：递归访问，顺序为 root leftsubtree rightsubtree

inorder:递归访问，顺序为leftsubtree root rightsubtree

postorder:递归访问，顺序为leftsubtree rightsubtree root

levelorder :每一层按照从左到右的顺序输出，从第一层到最后一层。

迭代访问：

第一个root入队列，

如果队列非空，

首元素出队列，首元素的每一个child入队列

迭代

Threaded Binary Trees

线索二叉树

若左指针为NULL,左指针指向中序中该节点的前一个

若右指针为NULL,右指针指向中序中该结点的后一个

包含一个空头，空头的左结点指向root，右节点都指向自己

当中序第一个元素的左节点为NULL时，指向空头。

构造线索时，空头本身也计入中序中，因此最后一个右节点如果为空，将会指向空头

结构

typedef struct ThreadedTreeNode *PtrTo ThreadedNode; typedef struct PtrToThreadedNode ThreadedTree; typedef struct ThreadedTreeNode { 
    int LeftThread; /* if it is TRUE, then Left */ ThreadedTree Left; /* is a thread, not a child ptr. */ ElementType Element; int RightThread; /* if it is TRUE, then Right */ ThreadedTree Right; /* is a thread, not a child ptr. */ } 

题目

1.It is always possible to represent a tree by a one-dimensional integer array.

任何二叉树可以通过一维数组表示（只需要把空结点空出来），任何树可由二叉树表示。因此对。T

2.There exists a binary tree with 2016 nodes in total, and with 16 nodes having only one child.(此题由何钦铭先生所出)

去掉只有一个孩子的结点，说明2000个结点的树是full binary tree。2000不是2的指数。F

3.Given a tree of degree 3. Suppose that there are 3 nodes of degree 2 and 2 nodes of degree 3. Then the number of leaf nodes must be ____.

画图即可，注意degree是孩子的个数，与图论中degree不同。8

4.Among the following threaded binary trees (the threads are represented by dotted curves), which one is the postorder threaded tree?

问是不是后序线索二叉树。需要看右侧的线索是不是指向后序的后一个结点，左侧的线索是不是后序的前一个结点。

5.A full tree of degree 3 is a tree in which every node other than the leaves has 3 children. How many leaves does a full tree of degree 3 have if it has 217 nodes?

6.Given a quadtree(四叉树) with 4 nodes of degree 2, 4 nodes of degree 3, 3 nodes of degree 4. The number of leaf nodes in this tree is __.

注意里面描述的顶点degree是不用加1的。L+4*3+4 * 4 + 3 * 5-1=2(4+4+3+L-1),L=22

7.How many leaf node does a complete binary tree with 2435 nodes have?
(5分)
A.1218
B.1217
C.812
D.cannot be determined

首先确定有几层：1+2+…+2^n = 2435，用求根公式看应该是n=10，倒数第二层有2 ^10个顶点，最后一层有2435-(2 ^11-1) = 388，说明最后一层有388个顶点，最后一层的顶点对应1/2个上一层顶点，因此多算了194次，leave=388+1024-194=1218

8.For an in-order threaded binary tree, if the pre-order and in-order traversal sequences are B E A C F D and A E C B D F respectively, which pair of nodes’ right links are both threads?
(4分)
A.E and F
B.A and D
C.A and E
D.B and E
从中序和前序看树：前序的第一个是根，即B是根，对应到中序，AEC和DF是两个子树，再看前序中，AEC最前面是E，所以E是根，F是根，然后确定,注意当孩子是NULL时才换成线索，因此只有没有右孩子的才满足。