1.1 逻辑符号

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联词与括号

作为专业数学书籍，叙述的语言一定要符合数理逻辑。作者简要地引入了五个常用的数理逻辑符号：
$$\neg \wedge \vee \Rightarrow \iff$$

分别对应联结词 非、且、或、蕴含、等价。
括号用于在复合逻辑语句中揭示复合结构。 为了书写简洁、省去不必要的括号，在显而易见的意义下，可以规定五个联结词符号的优先级：
$$\neg \succ \wedge \succ \vee \succ \Rightarrow \succ \iff$$

关于联结词符号优先级的示例

设 $p,q,r$ 为简单命题，则复合命题 $\neg p\vee q\wedge r\Rightarrow p\iff q$ 按照联结词的优先级，可以被唯一解释成 $(((\neg p)\vee (q\wedge r))\Rightarrow p)\iff q$

充分与必要

现有命题 $A$ 与 $B$，则 $A\Rightarrow B$ 说明了两层关系：

• $A$ 是 $B$ 的充分条件 （ 有 $A$ 就一定有 $B$）
• $B$ 是 $A$ 的必要条件 （ 没有 $B$ 就一定没有 $A$）

如果 $A\Rightarrow B$ 且 $B\Rightarrow A$ ，则 $A$ 与 $B$ 互为充分必要条件，即 $A\iff B$

相容或与排斥或

在日常生活中，“或”有两种含义。两者之中有一个成立则整体成立，这称为“相容或”；两者之中有且仅有一个成立则整体成立，这称为“排斥或”。“排斥或”比“相容或”要求更加严苛。本书中采用“相容或”。

证明方法

证明的目的是从前提 $A$ 出发，推导出蕴含的一系列命题，最终得到结论 $B$ ，即 $A\Rightarrow C_1\Rightarrow C_2\Rightarrow \cdots \Rightarrow C_n\Rightarrow B$

作者提到了两种最常用的证明方法：

• 直接证明法：假设前提成立，一步步推导出结论
• 反证法：假设结论不成立，推导出前提不成立，进而前提成立的话，必定有结论成立

定义与简记

$A:=B$ 代表 $A$ 的定义为 $B$
$C=:D$ 代表 $C$ 可以简写为 $D$

习题

【1】验证真值表

书中给出了逻辑联结词的真值表，并要求读者自行检验其合理性。
$$\neg A$$

$$A\wedge B$$

$$A\vee B$$

$$A\Rightarrow B$$

$$A\iff B$$

【2】证明等价关系

• $\neg (A\wedge B)\iff \neg A\vee \neg B$ （德摩根定理1）
• $\neg (A\vee B)\iff \neg A\wedge \neg B$ （德摩根定理2）
• $(A\Rightarrow B)\iff (\neg B\Rightarrow \neg A)$ （假言易位、逆否命题）
• $(A\Rightarrow B)\iff \neg A\vee B$ （蕴含等值式1）
• $\neg (A\Rightarrow B)\iff A\wedge \neg B$ （蕴含等值式2）