透镜成像详解【相机成像原理（二）】

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1、小孔成像的缺陷

1.1 引入透镜

2、薄透镜成像原理

薄透镜是一片制作成具有特殊表面形状的玻璃

手机摄像头上有很多透镜，包括凹透镜、凸透镜，透镜的材质有的是玻璃，有的是塑料

2.1 薄透镜工作原理

光进入不同介质时会发生折射

薄透镜可以让光按需进行折射

2.2 光线穿过透镜如何前进

薄透镜模型近似了精心设计的透镜的光学模型

2.3 光线追踪

3、薄透镜成像公式

3.1 高斯成像公式

3.2 物距、像距、放大率之间特殊的关系

4、透镜成像特性

透镜成像有2个优点：1、锐利的图像，2、高信噪比

透镜成像的缺点：1、如果传感器不在透镜的焦距上，会成像模糊，这个现象叫做失焦

除非场景是一个平面，否则永远会有部分场景失焦

4.1 对焦

我们通过改变镜头（透镜）与传感器之间的相对距离来对焦到特定的物体

相机镜头上的对焦环用于控制传感器和镜片之间的距离

4.2 景深

如下图，模糊环是从物体发出的光线经过透镜没有聚焦到传感器上，从而在传感器上形成的环状。
$D$ 是光圈直径，由相似三角形可得：$\frac{y}{D/2}$=$\frac{|O-S|}{O}$
图中的 $y$ 是物高的一半，模糊环的直径是 $c$，由物高与像高的关系可得如下图中的公式，

景深范围(Depth Of Field) ：使得模糊环直径足够小的一个对焦范围，也就是说让观察者观察时觉得依旧像是一个点，由上面2个公式联立可得 $c$ 的等式，如下图中所示，

假设存在一个直径 $ϵ$ 满足模糊环满足观察者观察时觉得依旧像是一个点，则：

$|O-S|$ 为景深的一半，即 $|O-S|$ 等于 $\frac{DOF}{2}$，即：

而在实际中，镜头的景深并不对称

4.3 光圈

许多镜头都可以改变光圈大小。

• 我们用 “𝑓/𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟”来描述光圈大小：固定焦距时，number越大，光圈直径越小，它的值实际上是透镜的焦距除以透镜的直径的大小，（存疑）
• 光圈越小，景深越大，比如光圈越小接近于小孔，而小孔的景深是无限大的，

如下图白色区域表示光圈，

改变光圈大小可以改变景深范围，光圈越小，景深越大，

不同的光圈的形状会形成不同的模糊图案

如果光圈直径减小，模糊环直径会减小

现实中，光圈并不是越大越好，也不是越小越好

为了突出主体，在摄影中我们需要更浅的景深，

为了突出主体，在摄影中我们需要更浅的景深，

思考：如果光圈逐渐变小，成像效果会如何？

• 镜头将等效为一个小孔
• 没有失焦，所有点都清晰，无论其物距多大.
• 入射光很少，信噪比很低，就跟小孔一样

4.4 小孔成像和薄透镜成像的重要区别

在小孔成像中，焦距指小孔与传感器之间的距离，

在透镜成像中，焦距(Focal Length)是指平行光聚焦点与镜头的距离，

景深$DOF$的公式：
$DOF=\frac{2ϵO}{mD}$
其中$ϵ$是满足模糊环满足观察者观察时觉得依旧像是一个点的直径，$O$是实际物距，$m$是成像时的放大倍率，$D$是光圈的直径，

模糊环直径的公式：
$c=mD\frac{|O-S|}{O}$
其中$S$是对焦物距，

4.5 视场

现在我们来引入视场的概念，想象你凑近这个树洞会看到什么变化？

视场的概念：描述成像物的范围——可以用视场角来描述，或者传感器能投影多大范围的场景

如果对焦平面靠近会如何？视场范围和视场角都会变小

对于小孔成像，如果目标靠近会如何？视场范围变小，但变小的幅度和透镜成像不一样，视场角不变，

透镜成像在景深范围内不需要重对焦，表现和小孔成像一致，需要透镜有足够大的景深，在景深范围内成立

视场还与传感器尺寸相关，如果传感器尺寸变小会怎样？视场变小

补充知识：
• Full frame指的是全画幅传感器，即对应35mm胶片尺寸的传感器，具体尺寸为36mm × 24mm；
• 由于生产工艺和设备尺寸要求，数码传感器具有较小的尺寸（现在这些限制已经基本克服）；
• 镜头通常用在胶片上的视场范围来描述，而不是以焦距来描述，

裁剪系数：描述数字相机图像传感器尺寸与全画幅传感器相对大小的概念

4.6 放大率

放大倍率与对焦距离相关，对焦距离越远，则放大率越小，因为从下面的2行公式就可以直接看出来，
$\frac{1}{物距}+\frac{1}{像距}=\frac{1}{焦距}$

放大率$m=\frac{像距}{物距}$

对于小孔成像，也可以用如下公式表示：
$$放大率m=\frac{像距}{物距}$$

物体变近不需要重新对焦，放大率变小幅度不一样，在景深范围内，透镜成像和小孔成像表现一致

近大远小的透视现象：

上图的拍摄原理如下图，

一个关于透视现象的链接，http://www.isc.meiji.ac.jp/~kokichis/

4.7 变焦

变焦意味这个改变焦距，这与对焦有很大不同，

如果透镜焦距变大，视场会变小，这叫做zoom in，

焦距越大，视场角越小，

相机镜头上有对焦环，也有变焦环，

手机通过切换不同的摄像头来改变焦距，

相同的场景，不同焦距的透镜成像有区别吗？

先看一个小孔成像的例子，焦距从$2f$变为$f$，像高变为原来的一半，

不同的焦距会有不同的透视畸变，

什么样的焦距最适合拍人像？