【离散数学】命题逻辑

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1、命题与联结词

定义：可以判断真假的语句叫命题

分类：简单命题、复合命题（由简单命题与逻辑联结词构成）

p或q p∨p q且q p∧q 否定 ¬ 与（合取-结合，同时）∧  或（析xi取-或）∨ 条件 →-如果 则  双条件 ↔  

四种命题：

1. 原命题 若p则q
2. 逆命题 若q则p
3. 否命题 若¬p则¬q
4. 逆否命题 若¬q则¬p

命题的否定与否命题

(1)命题的否定:(只否定结论). P表示命题,非P叫做命题的否定; 若P则q,则命题的否定为:若P则¬9q

(2)否命题(既否定条件,又否定结论)

充分条件与必要条件

1. 充分条件 若P=>q,则P是q的充分条件
2. 必要条件 若P=> q,则q是P的充分条件
3. 充要条件 若P=>q且若q=>p则p是q的充要条件
4. 充分条件与必要条件判定 (1)数轴法 (2)集合法 (3)等价法

全称量词与存在量词

2、命题公式与解释

1. 逻辑联结词优先级递增次序 ↔、→、∨、^、¬
2. 命题的翻译（符号化）
3. 命题公式的解释（赋值）

    A：含有n个命题变元的公式有2的n次方 组不同的真值指派，对每一组真值指派，公式都有一个确定的真值

    B：命题变元：指命题中真值的还不确定-通常，如果p代表真值未指定的任意命题，我们就称p为命题变元。所以命题变元仍然是个命题，只是真值还未被赋予。 作

4. 命题公式的真值表
5. 
6. 命题公式的类型
   • •永真式：不依赖于命题变元的真值指派，而总是取值为T的命题公式；
   • •永假式：不依赖于命题变元的真值指派，而总是取值为F的命题公式；
   • •可满足式：

     给定一个逻辑公式，如果存在一个解释（模型），使得该公式在该解释中取真值，则称该公式是可满足的。
     否则，该公式是不可满足的。
     可满足式的求解是逻辑学中的一个重要问题，它涉及到如何判断一个逻辑公式是否可以被满足。
     在离散数学中，可满足式的研究也是非常重要的一部分。
     求解可满足式的方法包括使用定理证明、消解法、回溯法等。
     例如，考虑以下逻辑公式：
     (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q)
     该公式是可满足的，因为它可以通过解释P和Q的真值来满足。
     具体来说，我们可以选择P为真，Q为假，或者选择P为假，Q为真，这样公式中的每个子句都取真值。
     因此，该公式是一个可满足式。

7. 命题公式的逻辑等值

   A↔B和A⇔B 的区别：后者表示命题之间的关系，及同真同假A=0，也B=0。前者本质上是逻辑链接词，意为等价，A和B的值随意。

   逻辑等值的性质：

      自反性：自己等于自己-A⇔A

      对称性：A⇔B-B⇔A

      传递性：A⇔B，B⇔C，A⇔C

8. 逻辑等值的相关公式
   1. 双重否定律 ┐┐A⇔A
   2. 幂等律：A∧ A⇔A，A∨A⇔A
   3. 交换律：A∧ B⇔B∧A，A∨B⇔B∨A
   4. 结合律：(A∧B)∧C⟺A∧(B∧C)，(A∨B)∨C⟺A∨(B∨C)
   5. 吸收律：A ∨ ( A ∧ B )    ⟺    A   A ∧ ( A ∨ B )    ⟺    A
   6. 分配律：1、A ∨ ( B ∧ C )    ⟺    ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) 

                    2、A ∧ ( B ∨ C )    ⟺    ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) 

   7. 德摩根律：1、¬ ( A ∨ B )    ⟺    ¬ A ∧ ¬ B 

                       2、¬ ( A ∧ B )    ⟺    ¬ A ∨ ¬ B

   8. 零一律:1、A ∨ 1    ⟺    1 

                 2、A ∧ 0    ⟺    0 

   9. 同一律：1、A ∨ 0    ⟺    A 

                    2、A ∧ 1    ⟺    A 

   10. 排中律：A∨¬A⟺1
   11. 矛盾律：A∧¬A⟺0
   12. 蕴含等值式：A→B⟺¬A∨B

       通过A→B的运算发现无论A，B真假，与后面的式子永远等价

   13. 假言易位：A→B⟺¬B→¬A

        说白了就是逆否命题

   14. 等价等值式：A↔B⟺(A→B)∧(B→A)
   15. 等价否定等值式：A↔B⟺¬A↔¬B
   16. 归谬论:(A→B)∧(A→¬B)⟺¬A
   17. A↔B⟺(A∧B)∨(¬A∧¬B)

       左边等于右边，右边等于左边

3、范式

概念

1. 命题变元或命题变元的否定称为文字：P、¬P、Q、¬Q
2. 有限个文字析取称为简单析取式（或字句）P∨Q∨¬R、…P、¬P
3. 有限个文字合取称为简单合取式（或字句）P∧Q∧¬R、…P、¬P
4. 有限个（大于等于1）简单合取式（短语）的析取式称为析取范式(disjunctive normal form)；

   如 (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ Q) 又如 P ∧ ¬Q，P,¬P

5. 有限个（大于等于1）简单析取式（子句）的合取式称为合取范式(conjunctive normal form)。

   如 (P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q)，又如 P ∨ ¬Q，P, ¬P

6. 单独一个的短语（子句），也可以构成析取范式（合取范式）

范式存在的定理

对于任意命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。

范式与真值

1. 命题公式的析取范式可以指出公式何时为真，而合取范式可以指出公式何时为假，从而能够替代真值表。((¬P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬R),¬P ∨ (¬Q ∧ R))
2. 命题公式的范式表达并不唯一，比如对公式 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) 而言，对应的析取范式有很多：

   P ∨ (Q ∧ R)

   (P ∧ P) ∨ (Q ∧ R)

   P ∨ (Q ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ R)

   P ∨ (P ∧ R) ∨ (Q ∧ R)

一般而言，求解范式时，需要进行最后的化简步骤；

主范式

1. 极小项和极大项

   为什么要定义主范式

   由于范式的不唯一性，我们考虑对构成范式的子句或短语进一步规范化，从而形成唯一的 主析取范式和主合取范式。

   在含有 n 个命题变元 P1, P2, P3, · · · , Pn 的短语或子句中，若每个命题变元与其否定不同时存在， 但二者之一恰好出现一次且仅一次，并且出现的次序与 P1, P2, P3, · · · , Pn 一致，则称此短语或子句为关于 P1, P2, P3, · · · , Pn 的一个极小项或极大项。

   极小项的性质

1. 极大项的性质

   极小项和极大项的性质

1. 在给定的析取范式中，若每一个短语都是极小项，且按照编码从小到大的顺序排列， 则称该范式为主析取范式(principal disjunctive normal form)。

   在给定的合取范式中，若每一个子句都是极大项，且按照编码从小到大的顺序排列， 则称该范式为主合取范式(principal conjunctive normal form)。

   如果一个主析取范式不包含任何极小项，则称该主析取范式为 “空”；如果一个主合 取范式不包含任何极大项，则称主合取范式为 “空”。

2. 求解方法

 3、主析取范式和主合取范式的转化

由真值表技术可知，对于任一个命题公式而言，主析取范式所使用的极小项的编码和主合 取范式所使用的极大项的编码是 “互补” 的关系。从而我们在求主析取范式和主合取范式 时，可根据公式特点，先求出二者之一，然后可直接写出另一个。

主范式可用于了解公式的真值情况，进行公式类型的判定以及等价关系的判定。

如果主析取范式包含所有的极小项，则该公式为永真公式；

如果主合取范式包含所有的极大项，则该公式为永假公式；

若两个公式具有相同的主析取范式或主合取范式，则两公式等价。

 基本推理形式和蕴涵公式 

1. 推理的判定定理

   公式 H 是前提集合 Γ = {G1, G2, · · · , Gn} 的逻辑结果当且仅当 (G1 ∧ G2 ∧ · · · ∧ Gn) → H 为永真公式。

2. 基本蘊含关系

自然演绎法推 

1.推理规则

规则 P (称为前提引用规则)：在推导的过程中，可随时引入前提集合中的任意一个前提；

规则 T (称为逻辑结果引用规则)：在推导的过程中，可以随时引入公式 S，该公式 S 是由其 前的一个或多个公式推导出来的逻辑结果。（可以直接使用推导出的中间结果）

规则 CP (称为附加前提规则)：如果能从给定的前提集合 Γ 与公式 P 推导出 S，则能从此前提集合 Γ 推导出 P → S。（结论中的前件，可以当作前提条件来使用）