应力张量不变量和偏应力张量不变量的张量表达不一致的原因

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

        前提：张量采用指标记法；在笛卡尔坐标系中，指标不分上下；指标的字母可以替换。

1. 应力张量不变量：、和

        定义三个由应力张量构成的不变量、和，其张量表达及在主轴坐标系中所对应的值如下：

        主应力的特征方程如下：

        化简后，得：

        由三次方程根的特性可以证明，应力张量不变量、、和主应力有如下关系：

式中，、和是特征方程的三个根，即三个主应力。

        我们可以利用不变量、和构造出、和，大家可以自己检验：

        将、和的张量记法代入，有：

        注意：上面的张量表达中的指标相对、和有一定变化，这是由指标约定所引起的，即：一个表达式中，同一指标字母出现的次数不应大于两次。而且根据哑指标约定，哑指标的字母可以任意更换，只要该指标字母不与式子中的其他指标字母重复即可。

        以上便是应力张量不变量的推导过程。

2. 偏应力张量不变量：、和

        根据定义，偏应力张量与应力张量存在如下关系：

式中，为球（静水）应力；为Kronecker符号。   

        根据主应力的定义，有：

式中，为单位法向向量的分量。

        代入，有：

        定义，需要注意，是一定值，是特征方程的未知数，故s也是未知数。代入后得：

        上式由主应力的定义式变形得到，因此，他们具有相同的根，一般有3个根：、和，分别代表3个主应力所在平面的法向向量方向，即主应力方向。

        上式也说明了，偏应力张量与原应力张量的主方向是一致的。即，在应力张量的3个方向上同时减去一个常数正应力不会改变其主方向。

        由上式可得，偏应力张量的主应力的特征方程：

        化简后，得：

式中，、和为偏应力张量的3个不变量。

        等等，是不是觉得很熟悉？没错，这不跟主应力的特征方程一个样吗。于是我们只需要把主应力结果中的全部换成，把换成即可。

        于是，定义三个由偏应力张量构成的不变量、和，其张量表达及在主轴坐标系中所对应的值如下：

        同样，我们可以利用不变量、和构造出、和：

        将、和的张量记法带入，有：

        等等，你这跟书上也不一样啊。想必，我们都会认为书上的应该是上述表达才对，这也是大家搜索这个问题的原因。可为什么书上的是很奇怪的表达呢？这是由于，

        将带入偏应力张量不变量的张量记法表达式中，得到如下表达：

        这便是书上的形式。

        注意：有的书上会将特征方程写为下面的形式：

        即，将“+”号变成了“-”号，此时的偏应力张量不变量便没有“-”号，即：

3. 总结：

        应力张量不变量和偏应力张量不变量的张量表达不一致是由所引起的。

欢迎指正~