离散数学期末复习总结

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1.1.1 命题与真值

基本概念

• 命题: 判断结果惟一的陈述句
• 不确定真假的陈述句也是命题，只要保证结果唯一
• 陈述句中的悖论也不是命题

1.1.2 命题符号化

• 原子命题（简单命题）：一个命题不能再分解为更简单的命题
• 
• 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题

1.1.3 复合命题及联结词

1. 否定式与否定联结词
2. 合取式与合取联结词 “∧”

   相当于“与”关系

   满足交换律和结合律

3. 析取式与析取联结词 “∨”

   相当于“或”关系

   满足交换律和结合律

   • 相容或：两个原子命题之间没有排斥性，即两个原子命题有同时为真的可能性
   • 排斥或：构成复合命题的两个原子命题之间存在排斥性。同时只能有一方为真

     例如：

4. 蕴涵式与蕴涵联结词 “→”

   “如果p,则q” 称作p、q的蕴涵式，记作p→q，称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件

   • 真值情况：只有前件为真，后件为假时，结果才为假，其余情况都为真
   • 常见表达：
     • p 是 q 的充分条件
     • q 为 p 的必要条件
     • 如果 p 则 q
     • p 仅当 q
     • 只要 p 就 q
     • 因为 p 所以 q
   • 两个 q 在前面的特例（记个“才”字）
     • 除非 q 才 p
     • 只有 q 才 p
5. 等价式与等价联结词
   • 关键词：当且仅当
   • 真值表与“同或”的相同

     即：p、q 相同时，真值为 1

   • 即通常的“充分必要条件”
   • 满足交换律和结合律

优先级：从大到小

1.2 命题公式及其赋值

1.2.1 命题常项和命题变项

• 命题常项：一个确定的具体的简单命题称作命题常项。也称命题常元
• 命题变项：当 p 所代表的只是一个抽象的命题，它可以表示任意的命题，称 p 为命题变项。也称命题变元。命题变项不是命题。

1.2.2 合式公式

• 定义：将命题变项用联结词和括号按一定逻辑关系联结起来的符号串称作合式公式，也称命题公式，简称公式。
• 合式公式 的递归定义：

  

• 子公式

  

  前提：A、B 都是合式公式

1.2.3 公式的赋值

• 公式的赋值

  给公式A中的命题变项 p1, p2, … , pn给予一定的真值指派，使其获得一组确定的真值，这个过程称为对A的一个赋值或解释。

  例：

  

• 含 n 个变项的公式有 2ⁿ 个赋值

1.2.4 公式的分类

• 若A无成假赋值，则称A为重言式(或永真式)
• 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(或永假式)
• 若A不是矛盾式，则称A为可满足式。

重言式是可满足式，但可满足式不一定是重言式

即：永真的式子一定可满足，因为一定存在其为真的条件。

1.2.5 公式的层次

第二章 命题逻辑等值演算

重点：

1. 等值演算
2. 范式

2.1 等值式

2.1.1 等值式

定义

• 定义1：
• 定义2：

性质

2.1.2 基本等值式

定义

重点：6、7、12

2.1.3 等值演算与置换规则

• 等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程。
• 置换规则：
• 小结论
  • 
  • 
  • 

2.2 析取范式和合取范式

2.2.1 简单合取

定义

仅由命题变项及其否定构成的合取式， 称为简单合取式，其中每个命题变项或其否定称为合取项（文字）。

2.2.2 析取范式

定义

由有限个简单合取式构成的析取式称作析取范式。

2.2.3 简单析取

定义

仅由命题变项及其否定构成的析取式， 称为简单析取式，其中每个命题变项或其否定称为析取项（文字）。

2.2.4 合取范式

定义

由有限个简单析取式构成的合取式称作合取范式

定理

任何一个合式公式都可以通过等值演算转换成与之等价的析取范式和合取范式

求范式步骤

先消去蕴含与等价，再消去非号，最后处理一个合取和析取的关系

2.2.5 主析取范式和主合取范式

（如果学过数逻的话，其实这个和数逻中的最大项最小项是一样的，离散中是叫极大项、极小项）

主析取范式

• 要保证每一个简单合取中都有全部的变量

  缺什么补什么

  

极小项

取“1”的项

特点：

• 每个极小项只有一组成真赋值；
• 没有两个不同的极小项是等值的；
• n个命题变项可以生成2n个极小项；
• 任意两个不同极小项的合取必为假，所有极小项的析取必为真。

例题：

关于如何“补”缺的项我是这么记得：

1. 不用记是合取 1 还是析取 0，首先看是求主析取还是主合取
2. 中间这个符号与主析取（合取）保持一致

   

3. 外面的和里面的符号相反

   

极小项的编码

与 p,q 前面的非号有关

极大项

与合取范式相关、与极小项相反

极小项是取 1 的情况，极大项是取 0 的情况

极大项编码是带“非”号的为 1，与极小项相反，这点要稍微注意一下（下面这张对比表可以体现）

特点：

• 每个极大项只有一组成假赋值；
• 没有两个不同的极大项是等值的；
• n个命题变项可以生成2n个极大项；
• 任意两个不同极大项的析取必为真，所有极大项的合取必为假。

定理

任何命题公式都存在唯一的与之等值的主析取范式和主合取范式。

2.3 联结词完备集

2.3.1 常见的联结词完备集

• 可以用联结词完备集表示其他常见的联结词
• 例题
• 可以通过住析取（或合取）范式来确定完备集表示的公式的形式

2.4 可满足性问题与消解法

未

第三章 命题逻辑的推理理论

3.1 推理的形式结构

3.1.1 推理的形式结构

3.1.2 推理的有效性

与蕴含的真值表相同：前提真、结论假时无效

• 推理特点
  • 推理有效，结论并不一定正确。
  • 推理的有效性和前提中公式的顺序无关。
  • 推理有效性与前提、结论之间的关系类似蕴涵联结关系。
• 推理的形式结构

  

3.1.3 判断推理有效性的方法

1. 真值表法
2. 等值演算法
3. 主析取范式法

3.1.4 重言蕴涵式

若某推理符合上述某条重言蕴涵式，则它自然是正确的。

3.2 自然推理系统P

3.2.1 自然推理系统P

即从给定的前提出发，根据推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论。

组成部分

1. 字母表：命题变项符号；联结词符号；括号和逗号。
2. 命题公式。
3. 推理规则。

3.2.2 推理规则

置换规则：就是用 2.1.2 中的规则化简

3.2.3 附加前提证明法

引入的前提必须是结论的前件

3.2.4 归谬法

证明结论的非

第四章 谓词逻辑

4.1 一阶逻辑命题符号化

4.1.1 个体词、谓词、量词的概念

个体词

概念：可以独立存在的 具体或者抽象的 客体

• 个体常项：具体的客体，用a, b, c表示
• 个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示
• 个体域（论域）: 个体变项的取值范围

谓词

概念: 表示个体词性质或相互之间关系的词

• 谓词常项：表示具体性质或关系
• 谓词变项：表示抽象及泛指的性质或关系

谓词常项和变项都用大写字母表示

• n元谓词(n >= 2): 含有 n 个个体变项的谓词。如：L(x,y)：x >= y，L 是一个二元谓词。
• 一元谓词: 只含有一个个体变项的谓词。
  如：F(x)：x是女孩。
• 0元谓词: 不含个体变项的谓词。

量词

概念：表示个体常项或变项之间数量关系的词

• 全称量词（任意）
• 存在量词

4.1.2 一阶逻辑中命题符号化

全称和蕴含一起用，