数学分析(一)-实数集与函数2-2：确界原理【极限理论的基础】【数集S的确界不一定属于S】【非空数集若有上/下界则必有上/下确界】【推广：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的+∞/-∞）】

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二、有界集 ・确界原理

定义 1

设 $S$ 为 $\mathbf{R}$ 中的一个数集. 若存在数 $M(L)$, 使得对一切$x\in S$, 都有 $x⩽$ $M(x⩾L)$, 则称 $S$ 为有上界(下界) 的数集, 数 $M(L)$ 称为 $S$ 的一个上界 (下界).

若数集 $S$ 既有上界又有下界, 则称 $S$ 为有界集. 若 $S$ 不是有界集, 则称$S$ 为无界集.

例 1
证明数集 ${\mathbf{N}}_{+}=|n|n$ 为正整数 $\}$有下界而无上界.

证
显然,任何一个不大于 1 的实数都是 ${\mathbf{N}}_{+}$ 的下界, 故 ${\mathbf{N}}_{+}$ 为有下界的数集.

为证 ${\mathbf{N}}_{+}$无上界, 按照定义只需证明: 对于无论多么大的数 $M$,总存在某个正整数 $n_0\left(\in {\mathbf{N}}_{+}\right)$, 使得 $n_0>M$.事实上, 对任何正数 $M$ (无论多么大), 取 $n_0=[M]+1$, 则$n_0\in$ ${\mathbf{N}}_{\text{, }}$, 且 $n_0>M$. 这就证明了$\mathbf{N}$, 无上界.

• 注：$[x]$ 表示不超过数 $x$ 的最大整数, 例如 $[2.9]=2,[-4.1]=-5$.

读者还可自行证明: 任何有限区间都是有界集, 无限区间都是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.

若数集 $S$ 有上界, 则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集 $S$ 的上确界. 同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.

定义 2

设 $S$ 是 $\mathbf{R}$ 中的一个数集. 若数 $\eta$ 满足:

• (i) 对一切 $x\in S$, 有 $x⩽\eta$, 即 $\eta$ 是 $S$ 的上界;
• (ii) 对任何 $\alpha <\eta$, 存在 $x_0\in S$, 使得 $x_0>\alpha$, 即$\eta$ 又是 $S$ 的最小上界,

则称数 $\eta$ 为数集 $S$ 的上确界, 记作$$\eta =\sup S$$

定义 3

设 $S$ 是 $\mathbf{R}$ 中的一个数集. 若数 $\xi$ 满足:

• (i) 对一切 $x\in S$, 有 $x⩾\xi$, 即 $\xi$ 是 $S$ 的下界;
• (ii) 对任何 $\beta >\xi$, 存在 $x_0\in S$, 使得 $x_0<\beta$, 即$\xi$ 又是 $S$ 的最大下界,

则称数 $\xi$ 为数集 $S$ 的下确界,记作$$\xi =\inf S$$

上确界与下确界统称为确界.

例 2
设 $S=|x|x$ 为区间 $(0,1)$ 上的有理数 $\mid$.试按上、下确界的定义验证: sup $S=$ 1 , inf $S=0$.

解
先验证 sup ⁡