【代码+详解】算法题 : 二分法求函数零点

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题目:二分法求函数零点

有函数：

f(x) = x^5 – 15 * x^4+ 85 * x^3- 225 * x^2+ 274 * x – 121

已知 f(1.5) > 0 , f(2.4) < 0 且方程 f(x) = 0 在区间 [1.5,2.4] 有且只有一个根，请用二分法求出该根。

Input

无。

Output

该方程在区间[1.5,2.4]中的根。要求四舍五入到小数点后6位。

代码

import java.util.*; import java.util.Scanner; //f(x) = x^5 - 15 * x^4+ 85 * x^3- 225 * x^2+ 274 * x - 121 public class Main03{ 
    //先把函数模拟出来 public static double f(double mid) { 
    return Math.pow(mid,5)-15*Math.pow(mid,4)+85*Math.pow(mid,3)-225*Math.pow(mid,2)+274*mid-121; } public static void main(String[] args) { 
    double a = 1.5;//左边边界 double b = 2.4;//右边边界 double precision = 1e-7;//精确值 //调用求根的方法 double root = findRoot(a,b,precision); System.out.print(root); } //计算根的方法 public static double findRoot(double a,double b,double precision) { 
    double mid = 0.0; while((b-a)>precision) { 
   //如果规定精度以内都无法找到根就可以结束找了 mid = (a+b)/2;//mid每次都要更新 if(f(mid)==0.0) { 
    break;//直接结束了,因为mid就已经符合要求了 }else if(f(a)*f(mid)<0) { 
    b = mid; }else { 
    a = mid; } } return Math.round(mid*1e6)/1e6; } } 

初步思路

通过不断地将区间一分为二，找到函数 ( f(x) ) 在给定区间内的零点。

具体步骤

1. 定义函数：
   • 模拟函数 ( f(x) ) 的表达式： ( f(x) = x^5 – 15x^4 + 85x^3 – 225x^2 + 274x – 121 )。
2. 初始化边界和精度：
   • 左边界 a = 1.5
   • 右边界 b = 2.4
   • 精度 precision = 1e-7
3. 求根方法：
   • 计算区间中点 mid： mid = (a + b) / 2
   • 根据函数值判断根的位置：
     • 如果f(mid) == 0.0，则 mid 就是根。
     • 如果 f(a) * f(mid) < 0，说明根在左半区间 [a, mid]，更新右边界 b = mid。
     • 否则，根在右半区间 [mid, b]，更新左边界 a = mid。
   • 重复上述过程，直到 (b – a) <= precision，表示找到的根在精度范围内。
4. 返回结果：
   • 将找到的根 mid 四舍五入到小数点后6位： Math.round(mid * 1e6) / 1e6

总结方法

二分法通过不断缩小区间范围，逐步逼近函数的零点。关键是每次迭代都将当前区间分为两半，并根据函数值判断根所在的区间。这个方法适用于在确定的区间内有且只有一个根的单调函数。通过严格控制区间的精度，可以保证结果的准确性，适合求解数值精确度要求高的问题。