初等数论(一)

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1.整数

1.1 整数运算规则

整数+整数=整数

整数-整数=整数

整数*整数=整数

正整数+正整数=正整数

正整数*正整数=正整数

2. 整除

整数a不等于0,整数b,如果有整数c能使a*c=b则称为a能整除b。记作

a|b

2.1 整除的推论

2.1.1 若a|b，b|c 则: a|c

        证明:

        a|b则有整数d使得a*d=b,b|c则有整数e使得b*e=c

        把a*d=b 带入b*e=c中得：a*d*e=c

        由于整数*整数=整数 则d*e为一个整数。 由整除定义可得a|c

2.1.2 若a|b 则 (|a|) | b , (|a|) | (|b|)，(|a|) | -b ，(-a) | b , (-a) | (|b|)，(-a) | -b ， a | (|b|)，a | -b 

        证明 a|b 则 (|a|) | (|b|)：

        a|b 则存在整数c 使得 a*c=b

        a>=0,b>=0 则 |a|*c= |b|

        a>=0,b<0 则 |a|*(-c) = |b|

        a<0,b>=0 则 |a|*(-c) = |b|

        a<0,b<0 则 |a|*c=|b|

        同理可证明其它公式

2.1.3 若整数|a|<|b| ，(|b|) | (|a|)  则a=0

        证明:

        由整除定义得: 存在整数c使得c*|b|=|a|

        c>=1则 |b|*c>=|b| 与 |a|<|b|相违背

        c<=-1则 |b|*c<0 与 c*|b|=|a|相违背

        c=0 则 c*|b|=0,|a|=0 可使c*|b|=|a|成立

2.1.4 整数a,整数b,且a<b ,则必有且只有两个整数q,0<=r<|a| 使得b=aq+r

        证明:

        有两种可能:

        (1) a|b 则 存在r=0 整数q 使得b=q*a+0，则公式成立。

        (2) a不能整除b 若b>0 则必有q*a<b<q*(a+1) ，若b<0 则必有q*a>b>q*(a+1)

           证明其唯一：

        若存在整数q_1,整数r_1 和q_2,整数r_2使得其成立则

        b=q_1 * a + r_1  ( 0<=r_1<|a| ) （ 式1）

        b=q_2 * a + r_2  ( 0<=r_2<|a| )   ( 式2 )

        式2-式1得

        0=(q_1-q_2)*a+(r_1-r_2)    (0<=r_1<a) 且(0<=r_2<a)

        由整除定义可得:

        a | (r_1-r_2)

        又因为 0<=|r_1 – r_2| <|a| 根据推论2.1.3则 a=0

        则a=0 故 r_1 – r_2=0 

        r_1=r_2