[更新] 99行拓扑优化 代码解析

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1. 什么是拓扑优化

所谓拓扑优化，即优化材料的分布，使得最终的结果能够满足结构势能最小，即柔顺度（compliance）

min_x c = 1/2 * u^T * K(x) * u = u^T * F，即力 * 在该力作用下的位移，即该力做的功，也就是势能

当给定外力做的功最小时，可理解为结构刚度最强（最硬），也就是希望得到最坚固的结构

2. 什么是有限元分析

一个拓扑优化问题其实就是一个二次规划问题，其一般形式为

min_x obj = 1/2 * x^T * G * x （对应于compliance）

s.t. Ax = b

而在拓扑优化中的等式约束条件，也就是 Ku = F，最简单的形式是弹簧的 kx = f

有限元分析就是把一个连续结构，划分成一个个有限的网格，使其成为可解问题，然后根据每个单元的物理量，装配整体结构的K

Ku = F成立的前提是，当前这个材料是一个线性材料，也就是力和位移成正比，比如钢铁。此代码中是线性材料

而非线性材料 Ku ≠ F，比如橡胶

function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin); nelx=80; % x轴方向上划分的单元个数 nely=20; % y轴方向上划分的单元个数 volfrac=0.4; % 希望最后的材料占整个结构的体积比 penal=3; % 惩罚因子，该优化问题得到的x是一个介于[0,1]的连续解，实际应用中x仅对0或者1有意义，也就是这个单元有材料还是无材料，为了使x趋于0或者1（结果趋于黑白化），对x进行惩罚，一般为3，也有部分难以收敛的优化问题设为5 rmin=2; % 过滤半径，防止棋盘格现象，具体解释见注解A % INITIALIZE x(1:nely,1:nelx) = volfrac; loop = 0; % 存放迭代次数的变量 change = 1.; % 每次迭代，x的改变值，用来判断何时收敛 % START ITERATION while change > 0.01 %当两次连续目标函数迭代的差<=0.01时，迭代结束 loop = loop + 1; xold = x; %把前一次的设计变量付给xold % FE-ANALYSIS [U]=FE(nelx,nely,x,penal); %有限元分析，根据x得到K，求解Ku = F，得到位移矢量u % OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS [KE] = lk; % 单元刚度矩阵，当一个单元x=1时，对应的刚度矩阵 c = 0.; % 目标函数的compliance for ely = 1:nely for elx = 1:nelx n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; %左上角的单元节点 n2 = (nely+1)* elx +ely; %右上角的单元节点 %所示单元的自由度，左上，右上，右下，左下，注意顺序 Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1); c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;                    % 计算目标函数的值（柔度） dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue; % 目标函数的灵敏度（导数） % 灵敏度的也就是目标函数的一阶导，用于求解该优化问题 end end % FILTERING OF SENSITIVITIES % 当对 x 施加了 filter之后，可表示为 xnew = f(x) % 那么相应的目标函数的导数dc也是关于x的函数，dc在此也要进行相应filter [dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc); % DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD [x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc); % 求解优化问题得到x % PRINT RESULTS 屏幕上显示迭代信息 change = max(max(abs(x-xold))); % 计算x的改变量 disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ... ' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ... ' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )]) % PLOT DENSITIES 优化结果的图形显示 colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6); end %%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc) l1 = 0; l2 = ; %用于体积约束的拉格朗日乘子 move = 0.2; while (l2-l1 > 1e-4) lmid = 0.5*(l2+l1); %即论文公式的综合 xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid))))); if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;% 二乘法减半 l1 = lmid; else l2 = lmid; end end %%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER 灵敏度过滤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc) dcn=zeros(nely,nelx); for i = 1:nelx for j = 1:nely sum=0.0; for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx) for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely) fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2); sum = sum + max(0,fac); dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k); end end dcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum); end end %%%%%%%%%% FE-ANALYSIS 有限元求解子程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [U]=FE(nelx,nely,x,penal) %自定义函数，最后返回[U] [KE] = lk; %单元刚度矩阵 % sparse 把一个全矩阵转化为一个稀疏矩阵，只存储每一个非零元素的三个值：元素值，元素的行号和列号 % 总体刚度矩阵的稀疏矩阵 % *2是因为x，y都有一个数 K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1)); F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); % 外力 U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1); % 要求的结果u for elx = 1:nelx for ely = 1:nely     %一列列的排序，y*x n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; % 左上     n2 = (nely+1)* elx +ely; % 右上     % 左上，右上，右下，左下 自由度     % 一个点有两个，所以要*2。第一个从1开始，所以*2之后要-1。     edof = [2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2];     %将单元刚度矩阵组装成总的刚度矩阵     K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;   end end % DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM) F(2,1) = -1; % 应用了一个在左上角的垂直单元力。 % MBB边界条件，最左边和右下角已经固定 fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]); % 固定节点 % ！！！如果不固定某些点的u的话，那么施加外力之后，这个结构不就跑了吗 % ！！！在数学上对应到 Ku = F的话，则意味着有多解 alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];     % 所有节点 % setdiff 因无约束自由度与固定自由度的不同来找到无约束自由度 freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs); %不受约束的自由度 % SOLVING % 注意在此仅对 freedofs做计算，原理见！！！那里 U(freedofs,:) = K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,:); U(fixeddofs,:)= 0; % 矩阵A的第r行：A（r，：） %%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX 单元刚度矩阵的子程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [KE]=lk E = 1.; % 杨氏模量，直观可理解为这个材料的硬度，越大则越硬 nu = 0.3; % 泊松比，当这个材料受到压缩时，nu>0则会膨胀（常见），nu<0则会收缩 % 预计算了一个矩形的单元刚度矩阵，具体求解可以看曾攀的《有限元分析》 k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ... -1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8]; %u1,v1, u2,v2, u3,v3, u4,v4 KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8) k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3) k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2) k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5) k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4) k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7) k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6) k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)]; 

A：filter的意义

当我们把连续体离散成有限元网格x后，对于一个x，其分布可能为

1 0

0 1

在数学意义下，这种情况是没有问题的，

但是对应到实际应用，为1的单元填充材料，为0的单元为空，会出现棋盘格现象，对于两个对角线上相邻的节点，虽然数学上判定连通，可是实际物理情况很容易造成应力集中结构断裂

这是由于划分成有限元网格而造成的问题（也就是无解= =），因此加上一个filter过滤一下，hack式搞定